Combinatoria aritmética

En matemáticas, la combinatoria aritmética es un campo situado en la intersección entre la teoría de números, la combinatoria, la teoría ergódica y el análisis armónico.

Alcance

Su materia de estudio se centra en las estimaciones combinatorias asociadas con operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). La combinatoria aditiva es el caso especial cuando solo están involucradas las operaciones de suma y resta.

Ben Green explica la combinatoria aritmética en su reseña de "Combinatoria aditiva" de Tao y Vu.

Resultados importantes

Teorema de Szemerédi

Plantilla:AP El teorema de Szemerédi es un resultado en combinatoria aritmética relacionado con las progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron que cada conjunto de números enteros A con densidad natural positiva contiene una progresión aritmética de k términos para cada k. Esta conjetura, que se convirtió en el teorema de Szemerédi, generaliza el enunciado del teorema de van der Waerden.

Teorema de Green-Tao y extensiones

El teorema de Green-Tao, demostrado por Ben Green y Terence Tao en 2004, establece que la secuencia de los números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. En otras palabras, existen progresiones aritméticas de números primos, con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi.

En 2006, Terence Tao y Tamar Ziegler ampliaron el resultado para cubrir las progresiones polinómicas. Más precisamente, dado cualquier polinomio de valores enteros P₁,..., P_k con una m desconocida, todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x, m tales que x + P₁(m), ..., x + P_k (m) son simultáneamente primos. El caso especial, cuando los polinomios son m, 2m, ..., km, implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de números primos de longitud arbitraria k.

Teorema de Breuillard-Green-Tao

El teorema de Breuillard-Green-Tao, demostrado por Emmanuel Breuillard, Ben Green y Terence Tao en 2011, ofrece una clasificación completa de los grupos aproximados. Este resultado puede verse como una versión no abeliana del teorema de Freiman y una generalización del teorema sobre grupos de crecimiento polinómico de Gromov.

Ejemplo

Si A es un conjunto de N números enteros, ¿qué tan grandes o pequeños pueden ser el conjunto suma

$A+A:=\{x+y:x,y\in A\},$

el conjunto de diferencias

$A-A:=\{x-y:x,y\in A\},$

y el conjunto de productos

$A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}$

, y cómo se relacionan los tamaños de estos conjuntos? (no deben confundirse con los términos conjunto diferencia y producto cartesiano, que pueden tener otros significados).

Extensiones

Los conjuntos que se estudian también pueden ser subconjuntos de estructuras algebraicas distintas de los números enteros, como por ejemplo grupos, anillos y cuerpos.

Véase también

• Teoría de números aditiva
• Grupo aproximado
• Teorema de las esquinas
• Teoría ergódica de Ramsey
• Problemas que involucran progresiones aritméticas
• Densidad de Schnirelmann
• Lema de Shapley–Folkman
• Conjunto de Sidón
• Conjunto suma-libre
• Problema suma-producto

Bibliografía

• Plantilla:Cite journal
• Combinatoria Aditiva e Informática Teórica Plantilla:Wayback, Luca Trevisan, SIGACT News, junio de 2009
• Plantilla:Cite book
• Problemas abiertos en combinatoria aditiva, E Croot, V Lev
• From Rotating Needles to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis, and PDE, Terence Tao, AMS Notices March 2001
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book

Enlaces externos

• Algunos aspectos destacados de la combinación aritmética, recursos de Terence Tao
• Combinatoria Aditiva: Invierno 2007, K Soundararajan
• Conexiones más tempranas de combinatoria aditiva e informática, Luca Trevisan