Grupo clásico

En matemáticas, los grupos clásicos se definen como los grupos lineales especiales sobre los números reales Plantilla:Math, los números complejos Plantilla:Math y los cuaterniones Plantilla:Math, junto con el grupo de automorfismos especiales de forma simétrica o antisimétrica; y formas sesquilineales hermíticas o antihermíticas definidas en espacios vectoriales de dimensión finita de carácter real, complejo o cuaterniónico. De estos, los grupos de Lie clásicos complejos son cuatro familias infinitas de grupos de Lie que junto con los grupos excepcionales agotan la clasificación de los grupos simples de Lie. Los grupos clásicos compactos son formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Los análogos finitos de los grupos clásicos son los grupos de tipo Lie clásicos. El término "grupo clásico" fue acuñado por Hermann Weyl, coincidente con el título de su monografía de 1939 The Classical Groups.

Los grupos clásicos forman la parte más profunda y útil del tema de los grupos de Lie lineales. La mayoría de los tipos de grupos clásicos encuentran aplicación en la física clásica y moderna. Algunos ejemplos son el grupo ortogonal Plantilla:Math (que modeliza las simetrías del espacio euclídeo y todas las leyes fundamentales de la física), o el grupo de Lorentz Plantilla:Math (un grupo de simetría del espacio-tiempo base de la teoría de la relatividad especial). El grupo unitario especial Plantilla:Math es el grupo de simetría de la cromodinámica cuántica y el grupo simpléctico Plantilla:Math encuentra aplicación en los problemas de mecánica hamiltoniana y mecánica cuántica.

Los grupos clásicos

Los grupos clásicos son exactamente los grupos lineales generales sobre Plantilla:Math y Plantilla:Math junto con los grupos de automorfismos de formas no degeneradas discutidos a continuación. Estos grupos suelen estar restringidos adicionalmente a los subgrupos cuyos elementos tienen determinante 1, por lo que sus centros son discretos. Los grupos clásicos, con la condición de tener determinante 1, se enumeran en la siguiente tabla. A continuación, la condición del determinante 1 "no" se usa de manera consistente, en aras de una mayor generalidad.

Nombre	Grupo	Cuerpo	Forma	Subgrupo compacto máximo	Álgebra de Lie	Sistema raíz
Lineal especial	SL(n, R)	R	-	SO(n)
Lineal especial complejo	SL(n, C)	C	-	SU(n)	Compleja	$A_m,n=m+1$
Lineal especial cuaterniónico	SL(n, H)= SU∗(2n)	H	-	Sp(n)
Ortogonal especial (indefinido)	SO(p, q)	R	Simétrico	S(O(p) × O(q))
Ortogonal especial complejo	SO(n, C)	C	Simétrico	SO(n)	Compleja	$\{\begin{array}{cc}{B}_m,& n=2m+1\\ D_m,& n=2m\end{array}$
Simpléctico	Sp(n, R)	R	Antisimétrico	U(n)
Simpléctico complejo	Sp(n, C)	C	Antisimétrico	Sp(n)	Compleja	$C_m,n=2m$
Unitario especial (indefinido)	SU(p, q)	C	Hermítico	S(U(p) × U(q))
Unitario cuaterniónico (indefinido)	Sp(p, q)	H	Hermítico	Sp(p) × Sp(q)
Ortogonal cuaterniónico	SO∗(2n)	H	Antihermítico	SO(2n)

Los grupos clásicos complejos son Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math. Un grupo es complejo si su álgebra de Lie es compleja. Los grupos clásicos reales se refieren a todos los grupos clásicos, ya que cualquier álgebra de Lie es un álgebra real. Los grupos clásicos compactos son las formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Estos son, a su vez, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math. Una caracterización de la forma real compacta es en términos del álgebra de Lie Plantilla:Math. Si Plantilla:Math, la complejifijación de Plantilla:Math, y si el grupo conexo Plantilla:Math generado por Plantilla:Math} es compacto, entonces Plantilla:Math es una forma real compacta.

Los grupos clásicos se pueden caracterizar uniformemente de manera diferente utilizando formas reales. Los grupos clásicos (aquí con la condición del determinante 1, pero esta condición no es estrictamente necesaria) son los siguientes:

Los grupos algebraicos lineales complejos Plantilla:Math y Plantilla:Math junto con sus formas reales.

Por ejemplo, Plantilla:Math es una forma real de Plantilla:Math, Plantilla:Math es una forma real de Plantilla:Math y Plantilla:Math es una forma real de Plantilla:Math. Sin la condición del determinante 1, se deben reemplazar los grupos lineales especiales por los grupos lineales generales correspondientes en la caracterización. Los grupos algebraicos en cuestión son grupos de Lie, pero se necesita la calificación de "algebraico" para disponer de la noción necesaria de "forma real".

Formas bilineales y sesquilineales

Los grupos clásicos se caracterizan en términos de formas definidas en Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math, donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son los cuerpos de los número reales y los números complejos. Los cuaterniones, Plantilla:Math, no constituyen un campo porque su multiplicación no es conmutativa, y forman un anillo de división o un sesquicuerpo o un cuerpo no conmutativo. Sin embargo, todavía es posible definir grupos cuaterniónicos de matrices. Por esta razón, se permite definir un espacio vectorial Plantilla:Math sobre Plantilla:Math y Plantilla:Math, así como sobre Plantilla:Math. En el caso de Plantilla:Math, Plantilla:Math es un espacio vectorial a la derecha para hacer posible la representación de la acción del grupo como una multiplicación de matrices desde la izquierda, al igual que para Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Una forma Plantilla:Math en algún espacio vectorial a la derecha de dimensión finita sobre Plantilla:Math, o Plantilla:Math es bilineal si

$\phi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \phi (x,y)\beta ,\mathrm{\forall }x,y\in V,\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in F.$ y si

$\phi (x_1+x_2,y_1+y_2)=\phi (x_1,y_1)+\phi (x_1,y_2)+\phi (x_2,y_1)+\phi (x_2,y_2),\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,y_1,y_2\in V.$

Se llama sesquilineal si

$\phi (x\alpha ,y\beta )=\overline{\alpha }\phi (x,y)\beta ,\mathrm{\forall }x,y\in V,\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in F.$ y si

$\phi (x_1+x_2,y_1+y_2)=\phi (x_1,y_1)+\phi (x_1,y_2)+\phi (x_2,y_1)+\phi (x_2,y_2),\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,y_1,y_2\in V.$

Se eligen estas convenciones porque funcionan en todos los casos considerados. Un automorfismo de Plantilla:Math es una aplicación Plantilla:Math sobre el conjunto de operadores lineales en Plantilla:Math tal que

$\phi (Ax,Ay)=\phi (x,y),\mathrm{\forall }x,y\in V.$|Plantilla:EquationRef

El conjunto de todos los automorfismos de Plantilla:Math forman un grupo, se llama grupo de automorfismos de Plantilla:Math, denotado como Plantilla:Math. Esto lleva a una definición preliminar de un grupo clásico:

Un grupo clásico es un grupo que conserva una forma bilineal o sesquilineal en espacios vectoriales de dimensión finita sobre Plantilla:Math, Plantilla:Math o Plantilla:Math.

Esta definición tiene cierta redundancia. En el caso de Plantilla:Math, bilineal es equivalente a sesquilineal. En el caso de Plantilla:Math, no hay formas bilineales distintas de cero.

Formas simétricas, antisimétricas, hermiticas y antihermíticas

Una forma es simétrica si

$\phi (x,y)=\phi (y,x).$

Es antisimétrica si

$\phi (x,y)=-\phi (y,x).$

Es hermítica si

$\phi (x,y)=\overline{\phi (y,x)}$

Finalmente, es antihermítica si

$\phi (x,y)=-\overline{\phi (y,x)}.$

Una forma bilineal Plantilla:Math es únicamente la suma de una forma simétrica y una forma antisimétrica. Una transformación que conserva Plantilla:Math conserva ambas partes por separado. Los grupos que conservan formas simétricas y antisimétricas se pueden estudiar por separado. Lo mismo se aplica, mutatis mutandis, a las formas hermíticas y antihermíticas. Por esta razón, a los efectos de la clasificación, solo se consideran formas puramente simétricas, antisimétricas, hermíticas o antihermíticas. Las formas normales de las formas corresponden a elecciones específicas adecuadas de bases. Estas son bases que dan las siguientes formas normales en coordenadas:

$\begin{array}{cccc}\text{Forma simétrica bilineal en base (pseudo-)ortonormal:}\phi (x,y)=& \pm {\xi }_1{\eta }_1\pm {\xi }_2{\eta }_2\pm \cdots \pm {\xi }_n{\eta }_n,& & (𝐑)\\ \text{Forma simétrica bilineal en base ortonormal:}\phi (x,y)=& {\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2+\cdots +{\xi }_n{\eta }_n,& & (𝐂)\\ \text{Bilineal antisimétrico en base simpléctica:}\phi (x,y)=& {\xi }_1{\eta }_{m+1}+{\xi }_2{\eta }_{m+2}+\cdots +{\xi }_m{\eta }_{2m=n}\\ & -{\xi }_{m+1}{\eta }_1-{\xi }_{m+2}{\eta }_2-\cdots -{\xi }_{2m=n}{\eta }_m,& & (𝐑,𝐂)\\ \text{Sesquilineal hermítico:}\phi (x,y)=& \pm \overline{{\xi }_1}{\eta }_1\pm \overline{{\xi }_2}{\eta }_2\pm \cdots \pm \overline{{\xi }_n}{\eta }_n,& & (𝐂,𝐇)\\ \text{Sesquilineal antihermítico:}\phi (x,y)=& \overline{{\xi }_1}𝐣{\eta }_1+\overline{{\xi }_2}𝐣{\eta }_2+\cdots +\overline{{\xi }_n}𝐣{\eta }_n,& & (𝐇)\end{array}$

El Plantilla:Math en la forma antihermítica es el tercer elemento base en la base Plantilla:Math para Plantilla:Math. Se puede comprobar la existencia de estas bases y la ley de inercia de Sylvester, la independencia del número de signos más y menos, Plantilla:Math y Plantilla:Math, en las formas simétrica y hermítica, así como la presencia o ausencia de los campos en cada expresión en Plantilla:Harvtxt o Plantilla:Harvtxt. El par Plantilla:Math, y a veces Plantilla:Math, se denomina signatura de la forma.

Explicación de la aparición de los campos Plantilla:Math: No hay formas bilineales no triviales sobre Plantilla:Math. En el caso bilineal simétrico, solo las formas sobre Plantilla:Math tienen signatura. En otras palabras, una forma bilineal compleja con "signatura" Plantilla:Math puede, mediante un cambio de base, reducirse a una forma en la que todos los signos son "Plantilla:Math" en la expresión anterior, mientras que esto es imposible en el caso real, en el que Plantilla:Math es independiente de la base cuando se pone en esta forma. Sin embargo, las formas hermíticas tienen una signatura independiente de la base tanto en el caso complejo como en el cuaterniónico (el caso real se reduce al caso simétrico). Una forma antihermítica en un espacio vectorial complejo se convierte en hermítica mediante la multiplicación por Plantilla:Mvar, por lo que en este caso, solo Plantilla:Math es interesante.

Grupos de automorfismos

Hermann Weyl, el autor de The Classical Groups. Weyl hizo contribuciones sustanciales a la teoría de la representación de los grupos clásicos

La primera sección presenta el marco general. Las otras secciones agotan los casos cualitativamente diferentes que surgen como grupos de automorfismos de formas bilineales y sesquilineales en espacios vectoriales de dimensión finita sobre Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Grupo de automorfismos Aut(φ)

Supóngase que Plantilla:Math es una forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita Plantilla:Math sobre Plantilla:Math o Plantilla:Math. El grupo de automorfismos se define, en función de la condición (Plantilla:EquationNote), como

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\phi )=\{A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(V):\phi (Ax,Ay)=\phi (x,y),\mathrm{\forall }x,y\in V\}.$

Cada Plantilla:Math tiene un Plantilla:Math adjunto con respecto a Plantilla:Math definido por

$\phi (Ax,y)=\phi (x,A^{\phi }y),x,y\in V.$|Plantilla:EquationRef

Usando esta definición en la condición (Plantilla:EquationNote), se ve que el grupo de automorfismos está dado por

$\mathrm{Aut}(\phi )=\{A\in \mathrm{GL}(V):A^{\phi }A=1\}.$|Plantilla:EquationRef

Fijando una base para Plantilla:Math, en términos de esta base, se expresa

$\phi (x,y)=\sum {\xi }_i{\phi }_{ij}{\eta }_j$

donde Plantilla:Math son los componentes de Plantilla:Math. Esto es apropiado para las formas bilineales. Las formas sesquilineales tienen expresiones similares y se tratan por separado más adelante. En notación matricial se encuentra que

$\phi (x,y)=x^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }y$

y

$A^{\phi }={\mathrm{\Phi }}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }$|Plantilla:EquationRef

de (Plantilla:EquationNote) donde Plantilla:Math es la matriz Plantilla:Math. La condición de no degeneración significa precisamente que Plantilla:Math es invertible, por lo que el adjunto siempre existe. Plantilla:Math expresado así se convierte en

$\mathrm{Aut}(\phi )=\{A\in \mathrm{GL}(V):{\mathrm{\Phi }}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }A=1\}.$

El álgebra de Lie Plantilla:Math de los grupos de automorfismos se puede escribir inmediatamente. En abstracto, Plantilla:Math si y solo si

$(e^{tX}{)}^{\phi }{e}^{tX}=1$

para todo Plantilla:Math, correspondiente a la condición (Plantilla:EquationNote) bajo la aplicación exponencial de las álgebras de Lie, de modo que

$𝔞𝔲𝔱(\phi )=\{X\in M_n(V):X^{\phi }=-X\},$

o en una base

$𝔞𝔲𝔱(\phi )=\{X\in M_n(V):{\mathrm{\Phi }}^{-1}{X}^{\mathrm{T}}\mathrm{\Phi }=-X\}$|Plantilla:EquationRef

como se ve usando la expansión en serie de potencias de la aplicación exponencial y la linealidad de las operaciones involucradas. Por el contrario, supóngase que Plantilla:Math. Entonces, usando el resultado anterior, Plantilla:Math. Así, el álgebra de Lie se puede caracterizar sin referencia a una base, o al adjunto, como

$𝔞𝔲𝔱(\phi )=\{X\in M_n(V):\phi (Xx,y)=-\phi (x,Xy),\mathrm{\forall }x,y\in V\}.$

La forma normal de Plantilla:Math se dará para cada grupo clásico a continuación. De esa forma normal, la matriz Plantilla:Math se puede leer directamente. En consecuencia, las expresiones para el adjunto y las álgebras de Lie se pueden obtener utilizando las fórmulas (Plantilla:EquationNote) y (Plantilla:EquationNote). Esto se demuestra a continuación en la mayoría de los casos no triviales.

Caso bilineal

Cuando la forma es simétrica, Plantilla:Math se llama Plantilla:Math. Cuando es antisimétrica, Plantilla:Math se llama Plantilla:Math. Esto se aplica a los casos real y complejo. El caso cuaterniónico está vacío, ya que no existen formas bilineales distintas de cero en espacios vectoriales cuaterniónicos.

Caso real

El caso real se descompone en dos casos, las formas simétrica y antisimétrica que deben ser tratadas por separado.

Grupos ortogonales O(p, q) y O(n)

Si Plantilla:Math es simétrico y el espacio vectorial es real, se puede elegir una base tal que

$\phi (x,y)=\pm {\xi }_1{\eta }_1\pm {\xi }_2{\eta }_2\cdots \pm {\xi }_n{\eta }_n.$

El número de signos más y menos es independiente de la base particular. En el caso de que Plantilla:Math se escribe Plantilla:Math donde Plantilla:Math es el número de signos más y Plantilla:Math es el número de signos menos, Plantilla:Math. Si Plantilla:Math la notación es Plantilla:Math. La matriz Plantilla:Math es en este caso

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right)\equiv I_{p,q}$

después de reordenar la base si es necesario. La operación adjunta (Plantilla:EquationNote) entonces se convierte en

$A^{\phi }=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& \cdots \\ \cdots & A_{nn}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right),$

que se reduce a la transposición habitual cuando Plantilla:Math o Plantilla:Math es 0. El álgebra de Lie se encuentra usando la ecuación (Plantilla:EquationNote) y un ansatz (enfoque) adecuado (esto se detalla para el caso de Plantilla:Math a continuación),

$𝔬(p,q)=\{\left(\begin{array}{cc}{X}_{p\times p}& Y_{p\times q}\\ Y^{\mathrm{T}}& W_{q\times q}\end{array}\right)|X^{\mathrm{T}}=-X,W^{\mathrm{T}}=-W\},$

y el grupo según (Plantilla:EquationNote) viene dado por

$\mathrm{O}(p,q)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)|I_{p,q}^{-1}{g}^{\mathrm{T}}{I}_{p,q}g=I\}.$

Los grupos Plantilla:Math y Plantilla:Math son isomorfos a través de la aplicación

$\mathrm{O}(p,q)\to \mathrm{O}(q,p),g\to \sigma g{\sigma }^{-1},\sigma =\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0\\ 1& 0& \cdots & 0\end{array}\right].$

Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de Lorentz podría escribirse como

$𝔬(3,1)=\text{sistema generador}\{\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)\}.$

Naturalmente, es posible reorganizar la matriz para que el bloque Plantilla:Math sea el superior izquierdo (o cualquier otro bloque). Aquí el "componente de tiempo" termina como la cuarta coordenada en una interpretación física, y no la primera como puede ser más común.

Grupo simpléctico verdadero Sp(m, R)

Si Plantilla:Math es asimétrico y el espacio vectorial es real, hay una base que da

$\phi (x,y)={\xi }_1{\eta }_{m+1}+{\xi }_2{\eta }_{m+2}\cdots +{\xi }_m{\eta }_{2m=n}-{\xi }_{m+1}{\eta }_1-{\xi }_{m+2}{\eta }_2\cdots -{\xi }_{2m=n}{\eta }_m,$

donde Plantilla:Math. Para Plantilla:Math se escribe Plantilla:Math En el caso de que Plantilla:Math se escribe Plantilla:Math o Plantilla:Math. De la forma normal se lee

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{0}_m& I_m\\ -I_m& 0_m\end{array}\right)=J_m.$

Haciendo el planteamiento adecuado

$V=\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right),$

donde Plantilla:Math son matrices Plantilla:Math-dimensionales y considerando (Plantilla:EquationNote),

$\left(\begin{array}{cc}{0}_m& -I_m\\ I_m& 0_m\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{cc}{0}_m& I_m\\ -I_m& 0_m\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right)$

se encuentra el álgebra de Lie de Plantilla:Math,

$𝔰𝔭(m,ℝ)=\{X\in M_n(ℝ):J_{m}X+X^{\mathrm{T}}{J}_m=0\}=\{\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{\mathrm{T}}\end{array}\right)|Y^{\mathrm{T}}=Y,Z^{\mathrm{T}}=Z\},$

y el grupo está dado por

$\mathrm{S}\mathrm{p}(m,ℝ)=\{g\in M_n(ℝ)|g^{\mathrm{T}}{J}_{m}g=J_m\}.$

Caso complejo

Como en el caso real, hay dos casos, el simétrico y el antisimétrico, cada uno de los cuales produce una familia de grupos clásicos.

Grupo ortogonal complejo O(n, C)

Si el caso Plantilla:Math es simétrico y el espacio vectorial es complejo, una base

$\phi (x,y)={\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_1{\eta }_1\cdots +{\xi }_n{\eta }_n$

en la que solo se pueden utilizar signos más. El grupo de automorfismos se llama Plantilla:Math en el caso de Plantilla:Math. El álgebra de Lie es simplemente un caso especial de Plantilla:Math,

$𝔬(n,ℂ)=𝔰𝔬(n,ℂ)=\{X|X^{\mathrm{T}}=-X\},$

y el grupo está dado por

$\mathrm{O}(n,ℂ)=\{g|g^{\mathrm{T}}g=I_n\}.$

En términos de la clasificación de álgebras de Lie simples, los Plantilla:Math se dividen en dos clases, aquellos con Plantilla:Math impares con sistema raíz Plantilla:Math y Plantilla:Math pares con sistema raíz Plantilla:Math.

Grupo simpléctico complejo Sp(m, C)

Para Plantilla:Math sesgado-simétrico y el complejo de espacio vectorial, la misma fórmula,

$\phi (x,y)={\xi }_1{\eta }_{m+1}+{\xi }_2{\eta }_{m+2}\cdots +{\xi }_m{\eta }_{2m=n}-{\xi }_{m+1}{\eta }_1-{\xi }_{m+2}{\eta }_2\cdots -{\xi }_{2m=n}{\eta }_m,$

se aplica como en el caso real. Para Plantilla:Math se escribe Plantilla:Math. En el caso $V={ℂ}^n={ℂ}^{2m}$ se escribe Plantilla:Math o Plantilla:Math. El álgebra de Lie es paralela a la de Plantilla:Math,

$𝔰𝔭(m,ℂ)=\{X\in M_n(ℂ):J_{m}X+X^{\mathrm{T}}{J}_m=0\}=\{\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& -X^{\mathrm{T}}\end{array}\right)|Y^{\mathrm{T}}=Y,Z^{\mathrm{T}}=Z\},$

y el grupo está dado por

$\mathrm{S}\mathrm{p}(m,ℂ)=\{g\in M_n(ℂ)|g^{\mathrm{T}}{J}_{m}g=J_m\}.$

Caso sesquilineal

En el caso sequilineal, se hace un enfoque ligeramente diferente para la forma en términos de una base,

$\phi (x,y)=\sum {\overline{\xi }}_i{\phi }_{ij}{\eta }_j.$

Las otras expresiones que se modifican son

$\phi (x,y)=x^{*}\mathrm{\Phi }y,A^{\phi }={\mathrm{\Phi }}^{-1}{A}^{*}\mathrm{\Phi },$

$\mathrm{Aut}(\phi )=\{A\in \mathrm{GL}(V):{\mathrm{\Phi }}^{-1}{A}^{*}\mathrm{\Phi }A=1\},$

El caso real, por supuesto, no aporta nada nuevo. El caso complejo y cuaterniónico se considerarán a continuación.

Caso complejo

Desde un punto de vista cualitativo, la consideración de formas antihermíticas (excluyendo isomorfismos) no proporciona nuevos grupos; la multiplicación por Plantilla:Math hace que una forma antihermítica sea hermítica, y viceversa. Por lo tanto, solo es necesario considerar el caso hermítico.

Grupos unitarios U(p, q) y U(n)

Una forma hermítica no degenerada tiene la forma normal

$\phi (x,y)=\pm \overline{{\xi }_1}{\eta }_1\pm \overline{{\xi }_2}{\eta }_2\cdots \pm \overline{{\xi }_n}{\eta }_n.$

Como en el caso bilineal, la signatura (p, q) es independiente de la base. El grupo de automorfismos se denota Plantilla:Math o, en el caso de Plantilla:Math, Plantilla:Math. Si Plantilla:Math la notación es Plantilla:Math. En este caso, Plantilla:Math toma la forma

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{1}_p& 0\\ 0& -1_q\end{array}\right)=I_{p,q},$

y el álgebra de Lie está dada por

$𝔲(p,q)=\{\left(\begin{array}{cc}{X}_{p\times p}& Z_{p\times q}\\ {\overline{Z_{p\times q}}}^{\mathrm{T}}& Y_{q\times q}\end{array}\right)|{\bar{X}}^{\mathrm{T}}=-X,{\bar{Y}}^{\mathrm{T}}=-Y\}.$

El grupo está dado por

$\mathrm{U}(p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}{g}^{*}{I}_{p,q}g=I\}.$

donde g es una matriz compleja general n x n y $g^{*}$ se define como la transpuesta conjugada de g, lo que los físicos llaman $g^{†}$.

A modo de comparación, una matriz unitaria U(n) se define como

$\mathrm{U}(n)=\{g|g^{*}g=I\}.$

Debe señalarse que $\mathrm{U}(n)$ es lo mismo que $\mathrm{U}(n,0)$

Caso cuaterniónico

El espacio Plantilla:Math se considera como un espacio vectorial derecho sobre Plantilla:Math. De esta forma, Plantilla:Math para un cuaternión Plantilla:Math, un vector columna de cuaternión Plantilla:Math y una matriz de cuaternión Plantilla:Math. Si Plantilla:Math fuera un espacio vectorial izquierdo sobre Plantilla:Math, entonces se requeriría la multiplicación de matrices desde la derecha en los vectores de fila para mantener la linealidad. Esto no corresponde a la operación lineal habitual de un grupo en un espacio vectorial cuando se da una base, que es la multiplicación de matrices desde la izquierda en vectores columna. Por lo tanto, Plantilla:Math es en adelante un espacio vectorial a la derecha sobre Plantilla:Math. Aun así, se debe tener cuidado debido a la naturaleza no conmutativa de Plantilla:Math. Los detalles (en su mayoría obvios) se omiten porque se utilizarán representaciones complejas.

Cuando se trata de grupos cuaterniónicos, es conveniente representar los cuaterniones usando Plantilla:Nowrap complejas,

$q=a\mathrm{1}+b\mathrm{i}+c\mathrm{j}+d\mathrm{k}=\alpha +j\beta \leftrightarrow \left[\begin{array}{cc}\alpha & -\bar{\beta }\\ \beta & \bar{\alpha }\end{array}\right]=Q,q\in ℍ,a,b,c,d\in ℝ,\alpha ,\beta \in ℂ.$|Plantilla:EquationRef

Con esta representación, la multiplicación cuaterniónica se convierte en multiplicación de matrices y la conjugación cuaterniónica se convierte en el adjunto hermítico. Además, si un cuaternión de acuerdo con la codificación compleja Plantilla:Math se da como un vector columna Plantilla:Math, entonces la multiplicación desde la izquierda por una representación matricial de un cuaternión produce un nuevo vector columna que representa el cuaternión derecho. Esta representación difiere ligeramente de una representación más común que se encuentra en el artículo sobre los cuaterniones. La convención más común forzaría la multiplicación desde la derecha en una matriz fila para lograr lo mismo.

Por cierto, la representación anterior deja en claro que el grupo de cuaterniones unitarios (Plantilla:Math) es isomorfo a Plantilla:Math.

Las matrices cuaterniónicas Plantilla:Math pueden, por extensión obvia, ser representadas por bloques de matrices de orden Plantilla:Math de números complejos. Si se está de acuerdo en representar un vector columna Plantilla:Nowrap cuaterniónico mediante un vector columna Plantilla:Nowrap con números complejos de acuerdo con la codificación de arriba, siendo los Plantilla:Math números superiores los Plantilla:Math y los Plantilla:Math números inferiores los Plantilla:Math, entonces una matriz Plantilla:Math cuaterniónica se convierte en una matriz de Plantilla:Math compleja exactamente de la forma dada arriba, pero ahora siendo α y β matrices de Plantilla:Math. Más formalmente

${\left(Q\right)}_{n\times n}={\left(X\right)}_{n\times n}+\mathrm{j}{\left(Y\right)}_{n\times n}\leftrightarrow {\left(\begin{array}{cc}X& -\overline{Y}\\ Y& \overline{X}\end{array}\right)}_{2n\times 2n}.$|Plantilla:EquationRef

Una matriz Plantilla:Math tiene la forma que se muestra en (Plantilla:EquationNote) si y solo si Plantilla:Math. Con estas identificaciones,

${ℍ}^n\approx {ℂ}^{2n},M_n(ℍ)\approx \{T\in M_{2n}(ℂ)|J_{n}T=\bar{T}{J}_n,J_n=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right)\}.$

El espacio Plantilla:Math es un álgebra real, pero no es un subespacio complejo de Plantilla:Math. La multiplicación (desde la izquierda) por Plantilla:Math en Plantilla:Math usando la multiplicación cuaterniónica por entrada y luego la asignación a la imagen en Plantilla:Math produce un resultado diferente que la multiplicación con entrada por Plantilla:Math directamente en Plantilla:Math. Las reglas de multiplicación cuaterniónica dan Plantilla:Math donde los nuevos Plantilla:Math y Plantilla:Math están dentro de los paréntesis.

La acción de las matrices cuaterniónicas sobre los vectores cuaterniónicos ahora se representa mediante cantidades complejas, pero por lo demás es igual que para las matrices y los vectores "ordinarios". Por lo tanto, los grupos cuaterniónicos están incrustados en Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es la dimensión de las matrices cuaterniónicas.

El determinante de una matriz cuaterniónica se define en esta representación como el determinante complejo ordinario de su matriz representativa. La naturaleza no conmutativa de la multiplicación cuaterniónica sería, en la representación cuaterniónica de matrices, ambigua. La forma en que Plantilla:Math está incrustado en Plantilla:Math no es única, pero todas esas incrustaciones están relacionadas a través de Plantilla:Math para Plantilla:Math, sin afectar al determinante. El nombre de Plantilla:Math en este aspecto complejo es Plantilla:Math.

A diferencia del caso de Plantilla:Math, tanto el caso hermítico como el antihermítico aportan algo nuevo cuando se considera Plantilla:Math, por lo que estos casos se consideran por separado.

GL(n, H) y SL(n, H)

Bajo la identificación anterior,

$\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2n,ℂ)|Jg=\bar{g}J,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g\ne 0\}\equiv {\mathrm{U}}^{*}(2n).$

Su álgebra de Lie Plantilla:Math es el conjunto de todas las matrices en la imagen de la aplicación Plantilla:Math de arriba,

$𝔤𝔩(n,ℍ)=\{\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)|X,Y\in 𝔤𝔩(n,ℂ)\}\equiv {𝔲}^{*}(2n).$

El grupo lineal especial cuaterniónico viene dado por

$\mathrm{S}\mathrm{L}(n,ℍ)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}g=1\}\equiv {\mathrm{S}\mathrm{U}}^{*}(2n),$

donde el determinante se toma en las matrices en Plantilla:Math. Alternativamente, se puede definir esto como el núcleo del determinante de Dieudonné $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)\to {ℍ}^{*}/[{ℍ}^{*},{ℍ}^{*}]\simeq {ℝ}_{>0}^{*}$. El álgebra de Lie es

$𝔰𝔩(n,ℍ)=\{\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)|Re(\mathrm{Tr}X)=0\}\equiv {𝔰𝔲}^{*}(2n).$

Grupo unitario cuaterniónico Sp(p, q)

Como antes en el caso complejo, la forma normal es

$\phi (x,y)=\pm \overline{{\xi }_1}{\eta }_1\pm \overline{{\xi }_2}{\eta }_2\cdots \pm \overline{{\xi }_n}{\eta }_n$

y el número de signos más es independiente de la base. Cuando Plantilla:Math con esta forma, Plantilla:Math. El motivo de la notación es que el grupo puede representarse, usando la prescripción anterior, como un subgrupo de Plantilla:Math conservando una forma hermítica compleja de signatura Plantilla:Math. Si Plantilla:Math o Plantilla:Math, el grupo se denota como Plantilla:Math. A veces se le llama grupo hiperunitario.

En notación cuaterniónica,

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cc}{I}_p& 0\\ 0& -I_q\end{array}\right)=I_{p,q}$

lo que significa que las matrices cuaterniónicas de la forma

Plantilla:NumBlk

satisfará qué

${\mathrm{\Phi }}^{-1}{𝒬}^{*}\mathrm{\Phi }=-𝒬,$

véase la sección sobre Plantilla:Math. Se debe tener precaución cuando se trata de la multiplicación de matrices cuaterniónicas, pero aquí solo están involucradas Plantilla:Math y Plantilla:Math y estas conmutan con cada matriz de cuaterniones. Ahora se aplica prescripción (Plantilla:EquationNote) a cada bloque,

$𝒳=\left(\begin{array}{cc}{X}_{1(p\times p)}& -{\bar{X}}_2\\ X_2& {\bar{X}}_1\end{array}\right),𝒴=\left(\begin{array}{cc}{Y}_{1(q\times q)}& -{\bar{Y}}_2\\ Y_2& {\bar{Y}}_1\end{array}\right),𝒵=\left(\begin{array}{cc}{Z}_{1(p\times q)}& -{\bar{Z}}_2\\ Z_2& {\bar{Z}}_1\end{array}\right),$

y las relaciones en (Plantilla:EquationNote) se cumplirán si

$X_1^{*}=-X_1,Y_1^{*}=-Y_1.$

El álgebra de Lie se convierte en

$𝔰𝔭(p,q)=\{\left(\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}{X}_{1(p\times p)}& -{\bar{X}}_2\\ X_2& {\bar{X}}_1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cc}{Z}_{1(p\times q)}& -{\bar{Z}}_2\\ Z_2& {\bar{Z}}_1\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{cc}{Z}_{1(p\times q)}& -{\bar{Z}}_2\\ Z_2& {\bar{Z}}_1\end{array}\right]}^{*}& \left[\begin{array}{cc}{Y}_{1(q\times q)}& -{\bar{Y}}_2\\ Y_2& {\bar{Y}}_1\end{array}\right]\end{array}\right)|X_1^{*}=-X_1,Y_1^{*}=-Y_1\}.$

El grupo está dado por

$\mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)\mid I_{p,q}^{-1}{g}^{*}{I}_{p,q}g=I_{p+q}\}=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2n,ℂ)\mid K_{p,q}^{-1}{g}^{*}{K}_{p,q}g=I_{2(p+q)},K=\mathrm{diag}(I_{p,q},I_{p,q})\}.$

Volviendo a la forma normal de Plantilla:Math por Plantilla:Math, realizando las sustituciones de Plantilla:Math y Plantilla:Math por Plantilla:Math. Después

$\phi (w,z)=\left[\begin{array}{cc}{u}^{*}& v^{*}\end{array}\right]K_{p,q}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+j\left[\begin{array}{cc}u& -v\end{array}\right]K_{p,q}\left[\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right]={\phi }_1(w,z)+𝐣{\phi }_2(w,z),K_{p,q}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(I_{p,q},I_{p,q})$

visto como una forma con valor Plantilla:Math en Plantilla:Math. Por lo tanto, los elementos de Plantilla:Math, vistos como transformaciones lineales de Plantilla:Math, conservan tanto una forma hermítica de la signatura Plantilla:Math como una forma antisimétrica no degenerada. Ambas formas toman valores puramente complejos y debido al prefactor de Plantilla:Math de la segunda forma, se conservan por separado. Esto significa que

$\mathrm{S}\mathrm{p}(p,q)=\mathrm{U}({ℂ}^{2n},{\phi }_1)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}({ℂ}^{2n},{\phi }_2)$

y esto explica tanto el nombre del grupo como la notación.

Grupo ortogonal cuaterniónico O^∗(2n) = O(n, H)

La forma normal para una forma antihermítica viene dada por

$\phi (x,y)=\overline{{\xi }_1}𝐣{\eta }_1+\overline{{\xi }_2}𝐣{\eta }_2\cdots +\overline{{\xi }_n}𝐣{\eta }_n,$

donde Plantilla:Math es el cuaternión de la tercera base en el listado ordenado Plantilla:Math. En este caso, Plantilla:Math se puede realizar, usando la codificación matricial compleja de arriba, como un subgrupo de Plantilla:Math que conserva una forma de signatura Plantilla:Math antihermítica compleja no degenerada. De la forma normal se ve que en notación cuaterniónica

$\mathrm{\Phi }=\left(\begin{array}{cccc}𝐣& 0& \cdots & 0\\ 0& 𝐣& \cdots & ⋮\\ ⋮& & \ddots & & \\ 0& \cdots & 0& 𝐣\end{array}\right)\equiv {\mathrm{j}}_n$

y de (Plantilla:EquationNote) se sigue que

$-\mathrm{\Phi }{V}^{*}\mathrm{\Phi }=-V\iff V^{*}={\mathrm{j}}_{n}V{\mathrm{j}}_n.$|Plantilla:EquationRef

para Plantilla:Math. Ahora, se debe poner

$V=X+𝐣Y\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)$

según indica (Plantilla:EquationNote). Los resultados del mismo criterio para Plantilla:Math son

$\mathrm{\Phi }\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right)\equiv J_n.$

Ahora, la última condición en (Plantilla:EquationNote) en notación compleja dice que

${\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)}^{*}=\left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right)\iff X^{\mathrm{T}}=-X,\stackrel{\mathrm{T}}{\bar{Y}}=Y.$

El álgebra de Lie se convierte en

${𝔬}^{*}(2n)=\{\left(\begin{array}{cc}X& -\bar{Y}\\ Y& \bar{X}\end{array}\right)|X^{\mathrm{T}}=-X,\stackrel{\mathrm{T}}{\bar{Y}}=Y\},$

y el grupo está dado por

${\mathrm{O}}^{*}(2n)=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℍ)\mid {\mathrm{j}}_n^{-1}{g}^{*}{\mathrm{j}}_{n}g=I_n\}=\{g\in \mathrm{G}\mathrm{L}(2n,ℂ)\mid J_n^{-1}{g}^{*}{J}_{n}g=I_{2n}\}.$

El grupo Plantilla:Math se puede caracterizar como

${\mathrm{O}}^{*}(2n)=\{g\in \mathrm{O}(2n,ℂ)\mid \theta \left(\bar{g}\right)=g\},$

donde la aplicación Plantilla:Math está definida por Plantilla:Math.

Además, la forma que determina el grupo se puede ver como una forma con valores Plantilla:Math en Plantilla:Math. Ahora, se hacen las sustituciones Plantilla:Math y Plantilla:Math en la expresión de la forma. Después

$\phi (x,y)={\bar{w}}_2{I}_n{z}_1-{\bar{w}}_1{I}_n{z}_2+𝐣(w_1{I}_n{z}_1+w_2{I}_n{z}_2)=\overline{{\phi }_1(w,z)}+𝐣{\phi }_2(w,z).$

La forma Plantilla:Math es hermítica (mientras que la primera forma en el lado izquierdo es antihermítica) con la signatura Plantilla:Math. La signatura se hace evidente mediante un cambio de base de Plantilla:Math a Plantilla:Math, donde Plantilla:Math son los vectores base primero y último Plantilla:Math, respectivamente. La segunda forma, Plantilla:Math es definida positiva simétrica. Así, debido al factor Plantilla:Math, Plantilla:Math conserva ambos por separado y se puede concluir que

${\mathrm{O}}^{*}(2n)=\mathrm{O}(2n,ℂ)\cap \mathrm{U}({ℂ}^{2n},{\phi }_1),$

y se explica la notación "O".

Grupos clásicos sobre campos generales o álgebras

Los grupos clásicos, considerados más ampliamente en álgebra, proporcionan grupos lineales particularmente interesantes. Cuando el cuerpo F de los coeficientes del grupo de matrices es un número real o un número complejo, estos grupos son simplemente los grupos de Lie clásicos. Cuando se trata de un cuerpo finito, entonces los grupos clásicos son grupos de tipo Lie, que juegan un papel importante en el teorema de clasificación de grupos simples. Además, se pueden considerar grupos clásicos sobre un álgebra asociativa R sobre F; donde R = H (un álgebra sobre reales) representa un caso importante. En aras de la generalidad, el artículo se referirá a grupos sobre R, donde R puede ser el propio cuerpo F.

Teniendo en cuenta su teoría de grupos abstractos, muchos grupos lineales tienen un subgrupo "especial", que generalmente consta de los elementos de determinante 1 sobre el cuerpo base, y la mayoría de ellos tienen asociados cocientes "proyectivos", que son los cocientes por el centro del grupo. Para grupos ortogonales de la característica 2 "S" tiene un significado diferente.

La palabra "'general" delante del nombre de un grupo suele significar que el grupo puede multiplicar algún tipo de forma por una constante, en lugar de dejarlo fijo. El subíndice n suele indicar la dimensión del módulo sobre el que está actuando el grupo; es un espacio vectorial si R = F. Sin embargo, debe advertirse que esta notación choca un poco con la "n" de los diagramas de Dynkin, que es el rango.

Grupos lineales generales y especiales

El grupo lineal general GL_n(R) es el grupo de todos los automorfismos lineales R de Rⁿ. Hay un subgrupo: el grupo lineal especial SL_n(R), y sus cocientes: el grupo lineal proyectivo PGL_n(R) = GL_n(R)/Z(GL_n(R) ) y el grupo lineal proyectivo PSL_n(R) = SL_n(R)/Z(SL_n(R)). El grupo lineal especial proyectivo PSL_n(F) sobre un cuerpo F es simple para n ≥ 2, excepto en los dos casos en que n =  2 y el cuerpo tiene orden 2 o 3.

Grupos unitarios

El grupo unitario U_n(R) es un grupo que conserva una forma sesquilineal en un módulo. Hay un subgrupo, el grupo unitario especial SU_n(R) y sus cocientes, el grupo unitario proyectivo PU_n(R) = U_n(R)/Z(U_n(R)) y el grupo unitario especial proyectivo PSU_n(R) = SU_n(R)/Z(SU_n(R))

Grupos simplécticos

El grupo simpléctico Sp_2n(R) conserva una forma bilineal en un módulo. Tiene un cociente, el grupo simpléctico proyectivo PSp_2n(R). El grupo simpléctico general GSp_2n(R) consta de los automorfismos de un módulo que multiplica una forma antisimétrica por algún escalar invertible. El grupo simpléctico proyectivo PSp_2n(F_q) sobre un cuerpo finito es simple para n ≥ 1, excepto para los casos de PSp₂ sobre los cuerpos de dos y tres elementos.

Grupos ortogonales

El grupo ortogonal O_n(R) conserva una forma cuadrática no degenerada en un módulo. Hay un subgrupo, el grupo ortogonal SO_n(R) y cocientes, el grupo ortogonal proyectivo PO_n(R), y el grupo ortogonal especial proyectivo PSO_n(R).

En la característica 2, el determinante siempre es 1, por lo que el grupo ortogonal especial a menudo se define como el subgrupo de elementos de invariante de Dickson 1.

Hay un grupo sin nombre a menudo denotado por Ω_n(R) que consta de los elementos del grupo ortogonal de elementos del grupo ortogonal 1, con los correspondientes subgrupos y grupos de cocientes SΩ_n(R), PΩ_n(R ) y PSΩ_n(R). (Para formas cuadráticas definidas positivas sobre los reales, el grupo Ω resulta ser el mismo que el grupo ortogonal, pero en general es más pequeño). También existe un doble recubrimiento de Ω_n(R), llamado grupo pin Pin_n(R), y tiene un subgrupo llamado grupo espinorial Spin_n(R). El grupo ortogonal GO_n(R) consta de los automorfismos de un módulo que multiplican una forma cuadrática por algún escalar invertible.

Contraste con grupos de Lie excepcionales

En contraste con los grupos de Lie clásicos están los grupos de Lie excepcionales, G₂, F₄, E₆, E₇, E₈, que comparten sus propiedades abstractas, pero no su vinculación con aspectos familiares de la física o de la geometŕía euclídea. Solo fueron descubiertos alrededor de 1890 en la clasificación de las álgebras de Lie simples sobre los números complejos por Wilhelm Killing y Élie Cartan.

Referencias

• E. Artin (1957) Álgebra geométrica, capítulos III, IV y V a través de Internet Archive
• Plantilla:Citation
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• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Springer
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