Grupo simpléctico

En matemáticas, el nombre grupo simpléctico puede referirse a dos conjuntos diferentes, pero estrechamente relacionados, de grupos matemáticos, denominados Plantilla:Math y Plantilla:Math para el entero positivo n y cuerpo F (generalmente sobre los números complejos C o los números reales R). Este último se denomina grupo simpléctico compacto y también se denota por $\mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{p}(n)$. Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que generalmente difieren en factores de Plantilla:Math. La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples, el álgebra de Lie del grupo complejo Plantilla:Math se denota como Plantilla:Math, y Plantilla:Math es la forma real compacta de Plantilla:Math. Debe tenerse en cuenta que cuando aquí se hace referencia al grupo simpléctico (compacto) se da a entender que se está hablando de la colección de grupos simplécticos (compactos), indexados por su dimensión Plantilla:Math.

El nombre grupo simpléctico tiene su origen en la topología simpléctica desarrorrada por Hermann Weyl como reemplazo de los confusos nombres anteriores (línea) grupo complejo y grupo lineal abeliano, y es el análogo al término griego que significa complejo.

El grupo metapléctico es una doble tapa del grupo simpléctico sobre R; tiene análogos sobre otros cuerpos locales, cuerpos finitos y anillos adélicos.

Plantilla:Math

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión Plantilla:Math sobre el cuerpo Plantilla:Math que conserva una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial simpléctico, y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto Plantilla:Math se denota Plantilla:Math. Al fijar una base para Plantilla:Math, el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de orden Plantilla:Math, con entradas en Plantilla:Math, bajo la operación de multiplicación de matrices. Este grupo se denomina Plantilla:Math o Plantilla:Math. Si la forma bilineal está representada por la matriz antisimétrica no singular Ω, entonces

$\mathrm{Sp}(2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm{T}}\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }\},$

donde M^T es la matriz transpuesta de M. A menudo, Ω se define como

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right),$

donde I_n es la matriz identidad. En este caso, Plantilla:Math se puede expresar como aquellas matrices de bloques $(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array})$, donde $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$, satisfaciendo las tres ecuaciones siguientes:

$\begin{array}{cc}-C^{\mathrm{T}}A+A^{\mathrm{T}}C& =0,\\ -C^{\mathrm{T}}B+A^{\mathrm{T}}D& =I_n,\\ -D^{\mathrm{T}}B+B^{\mathrm{T}}D& =0.\end{array}$

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante Plantilla:Math, el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial Plantilla:Math. Cuando Plantilla:Math, la condición simpléctica en una matriz se cumple si y solo si el determinante es uno, por lo que Plantilla:Math. Para Plantilla:Math, existen condiciones adicionales, es decir, Plantilla:Math es entonces un subgrupo propio de Plantilla:Math.

Normalmente, el cuerpo Plantilla:Math es el cuerpo de los números reales Plantilla:Math o de los números complejos Plantilla:Math. En estos casos Plantilla:Math es un grupo de Lie real/complejo de dimensión real/compleja Plantilla:Math. Estos grupos son conexos pero no compactos.

El centro de Plantilla:Math consta de las matrices Plantilla:Math y Plantilla:Math siempre que la característica del cuerpo no sea Plantilla:Math. Dado que el centro de Plantilla:Math es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple, Plantilla:Math se considera un grupo simple de Lie.

El rango real del álgebra de Lie correspondiente, y por lo tanto del grupo de Lie Plantilla:Math, es Plantilla:Math.

El álgebra de Lie de Plantilla:Math es el conjunto

$𝔰𝔭(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\mathrm{\Omega }X+X^{\mathrm{T}}\mathrm{\Omega }=0\},$

equipado con el conmutador como su soporte de Lie. Para la forma sesquibilineal estándar $\mathrm{\Omega }=(\begin{array}{cc}0& I\\ -I& 0\end{array})$, esta álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques $(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array})$ sujetas a las condiciones

$\begin{array}{cc}A& =-D^{\mathrm{T}},\\ B& =B^{\mathrm{T}},\\ C& =C^{\mathrm{T}}.\end{array}$

Plantilla:Math

El grupo simpléctico sobre el cuerpo de los números complejos es un grupo simple de Lie no compacto y simplemente conexo.

Plantilla:Math

Plantilla:Math es la complejifijación del grupo real Plantilla:Math. Plantilla:Math es real, grupo simple de Lie, conexo, y no compacto. Tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de los números enteros bajo la adición. Como la forma real de un grupo simple de Lie su álgebra de Lie es un álgebra divisible de Lie.

Algunas propiedades adicionales de Plantilla:Math son:

• La aplicación exponencial del álgebra de Lie Plantilla:Math al grupo Plantilla:Math no es sobreyectiva. Sin embargo, cualquier elemento del grupo se puede representar como el producto de dos exponenciales. En otras palabras,

$\mathrm{\forall }S\in \mathrm{Sp}(2n,𝐑)\mathrm{\exists }X,Y\in 𝔰𝔭(2n,𝐑)S=e^X{e}^Y.$

• Para todos los Plantilla:Math en Plantilla:Math:

$S=OZ{O}^{\prime }\text{such that}O,O^{\prime }\in \mathrm{Sp}(2n,𝐑)\cap \mathrm{SO}(2n)\cong U(n)\text{and}Z=\left(\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& D^{-1}\end{array}\right).$

La matriz Plantilla:Math es diagonal y positiva definida. El conjunto de tales Plantilla:Math forma un subgrupo no compacto de Plantilla:Math, mientras que Plantilla:Math forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como descomposición de 'Euler' o de 'Bloch-Messiah'. Se pueden encontrar más propiedades de estas matrices en su artículo correspondiente (véase matriz simpléctica).

• Como grupo de Lie, Plantilla:Math tiene una estructura múltiple. La variedad correspondiente para Plantilla:Math es difeomorfa al producto cartesiano del grupo unitario Plantilla:Math con un espacio vectorial de dimensión Plantilla:Math.

Generadores infinitesimales

Los miembros del álgebra de Lie simpléctica Plantilla:Math son las matrices hamiltonianas.

Estas son matrices,

$Q$

tales que

$Q=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& -A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$

donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son matrices simétricas. Véase el artículo grupo clásico para su deducción.

Ejemplo de matrices simplécticas

Para Plantilla:Math, el grupo de matrices Plantilla:Math con determinante Plantilla:Math, las tres matrices Plantilla:Math simplécticas son:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\text{ y }\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$

Sp(2n, R)

Resulta que

$\mathrm{Sp}(2n,𝐑)$

puede tener una descripción bastante explícita usando generadores. Si se hace que

$\mathrm{Sym}(n)$

denote las matrices

$n\times n$

simétricas, entonces

$\mathrm{Sp}(2n,𝐑)$

es generado por

$D(n)\cup N(n)\cup \{\mathrm{\Omega }\},$

donde

$\begin{array}{cc}D(n)& =\{\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& (A^T{)}^{-1}\end{array}\right]|A\in \mathrm{GL}(n,𝐑)\}\\ N(n)& =\{\left[\begin{array}{cc}{I}_n& B\\ 0& I_n\end{array}\right]|B\in \mathrm{Sym}(n)\}\end{array}$

son subgrupos de

$\mathrm{Sp}(2n,𝐑)$

.^{pg 173pg 2}

Relación con la geometría simpléctica

La topología simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas. El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico. Como se señaló anteriormente, las transformaciones que conservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es Plantilla:Math, según la dimensión del espacio y el cuerpo sobre el que se define.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo una acción del grupo simpléctico es, en cierto sentido, una versión linealizada de un simplectomorfismo, que es una estructura más general que conserva la transformación en una variedad simpléctica.

Plantilla:Math

El grupo simpléctico compacto Plantilla:Math es la intersección de Plantilla:Math con el grupo unitario $2n\times 2n$:

$\mathrm{Sp}(n):=\mathrm{Sp}(2n;𝐂)\cap \mathrm{U}(2n)=\mathrm{Sp}(2n;𝐂)\cap \mathrm{SU}(2n).$

A veces se escribe como Plantilla:Math. Alternativamente, Plantilla:Math se puede describir como el subgrupo de Plantilla:Math (matrices cuaterniónicas invertibles) que conserva la forma hermítica estándar en Plantilla:Math:

$⟨x,y⟩={\overline{x}}_1{y}_1+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n.$

Es decir, Plantilla:Math es solo un grupo unitario cuaterniónico, Plantilla:Math. De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario. También Sp(1) es el grupo de cuaterniones de norma Plantilla:Math, equivalente al Plantilla:Math y topológicamente a una [[3-esfera|Plantilla:Math-esfera]] Plantilla:Math.

Téngase en cuenta que Plantilla:Math no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior: no conserva una forma sesquibilineal Plantilla:Math no degenerada simétrica en Plantilla:Math: no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de Plantilla:Math, por lo que conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de dos veces la dimensión. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de Plantilla:Math es la forma real compacta del álgebra de Lie simpléctica compleja Plantilla:Math.

Plantilla:Math es un grupo de Lie real con dimensión (real) Plantilla:Math. Es compacto y simplemente conexo.

El álgebra de Lie de Plantilla:Math está dada por las matrices cuaterniónicas antihermíticas, el conjunto de matrices cuaterniónicas Plantilla:Math que satisfacen

$A+A^{†}=0$

donde Plantilla:Math es la matriz traspuesta conjugada de Plantilla:Math (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El soporte de Lie lo da el conmutador.

Subgrupos importantes

Algunos subgrupos principales son:

$\mathrm{Sp}(n)\supset \mathrm{Sp}(n-1)$

$\mathrm{Sp}(n)\subset \mathrm{U}(n)$

$\mathrm{Sp}(2)\subset \mathrm{O}(4)$

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de algunos otros grupos:

$\mathrm{SU}(2n)\supset \mathrm{Sp}(n)$

${\mathrm{F}}_4\supset \mathrm{Sp}(4)$

${\mathrm{G}}_2\supset \mathrm{Sp}(1)$

También están los isomorfismos de las álgebras de Lie Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Relación entre los grupos simplécticos

Cada álgebra de Lie semisimple compleja tiene una forma real dividida y una forma real compacta; la primera se llama complejifijación de las dos últimas.

El álgebra de Lie de Plantilla:Math es semisimple y se denota por Plantilla:Math. Su forma real dividida es Plantilla:Math y su forma real compacta es Plantilla:Math. Estas formas se corresponden a los grupos de Lie Plantilla:Math y Plantilla:Math respectivamente.

Las álgebras, Plantilla:Math, que son las álgebras de Lie de Plantilla:Math, son la signatura indefinida equivalente a la forma compacta.

Importancia física

Mecánica clásica

El grupo simpléctico compacto Plantilla:Math surge en la física clásica como las simetrías de coordenadas canónicas que conservan el corchete de Poisson.

Considérese un sistema de partículas Plantilla:Math, evolucionando bajo las ecuaciones de Hamilton, cuya posición en el espacio fásico en un momento dado se denota por el vector de coordenadas canónicas

$𝐳=(q^1,\dots ,q^n,p_1,\dots ,p_n{)}^{\mathrm{T}}.$

Los elementos del grupo Plantilla:Math son, en cierto sentido, una transformación canónica sobre este vector, es decir, conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton. Si

$𝐙=𝐙(𝐳,t)=(Q^1,\dots ,Q^n,P_1,\dots ,P_n{)}^{\mathrm{T}}$

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con la notación de un punto sobreimpuesto que denota la derivada respecto al tiempo,

$\dot{𝐙}=M(𝐳,t)\dot{𝐳},$

donde

$M(𝐳,t)\in \mathrm{Sp}(2n,𝐑)$

para todo Plantilla:Mvar y todo Plantilla:Math en el espacio de fase.

Para el caso especial de una variedad de Riemann, las ecuaciones de Hamilton describen las geodésicas en esa variedad. Las coordenadas $q^i$ se sitúan en el fibrado tangente a la variedad, y los momentos $p_i$ se localizan en el fibrado cotangente. Esta es la razón por la cual estos se escriben convencionalmente con índices superior e inferior; para distinguir sus ubicaciones. El hamiltoniano correspondiente consta únicamente de la energía cinética: es $H=\frac{1}{2}{g}^{ij}(q)p_i{p}_j$, donde $g^{ij}$ es el inverso del tensor métrico $g_{ij}$ en la variedad de Riemann. De hecho, el paquete cotangente de cualquier variedad suave puede ser una estructura simpléctica (no trivial) de forma canónica, con la forma simpléctica definida como derivada exterior de una forma única tautológica.

Mecánica cuántica

Considérese un sistema de partículas Plantilla:Math cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por lo tanto, el espacio de Hilbert, en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo hace que el análisis de esta situación sea complicado. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición e impulso bajo la ecuación de Heisenberg en el espacio fásico.

Constrúyase un vector de coordenadas canónicas,

$\widehat{𝐳}=({\hat{q}}^1,\dots ,{\hat{q}}^n,{\hat{p}}_1,\dots ,{\hat{p}}_n{)}^{\mathrm{T}}.$

Las relaciones de conmutación canónicas se puede expresar simplemente como

$[\widehat{𝐳},{\widehat{𝐳}}^{\mathrm{T}}]=i\hslash \mathrm{\Omega }$

donde

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{𝟎}& I_n\\ -I_n& \mathrm{𝟎}\end{array}\right)$

y Plantilla:Math es la matriz identidad Plantilla:Math.

Muchas situaciones físicas solo requieren operadores hamiltonianos cuadráticos, es decir, hamiltonianos de la forma

$\hat{H}=\frac{1}{2}{\widehat{𝐳}}^{\mathrm{T}}K\widehat{𝐳}$

donde Plantilla:Math es una matriz simétrica de orden Plantilla:Math real. Esto resulta ser una restricción útil y permite reescribir la ecuación de Heisenberg como

$\frac{d\widehat{𝐳}}{dt}=\mathrm{\Omega }K\widehat{𝐳}$

La solución a esta ecuación debe preservar las relaciones de conmutación canónicas. Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real Plantilla:Math, en el espacio de fase.

Véase también

• Grupo ortogonal
• Grupo unitario
• Grupo proyectivo unitario
• Variedad simpléctica, matriz simpléctica, espacio vectorial simpléctico, representación simpléctica
• Representaciones de grupos de Lie clásicos
• Mecánica hamiltoniana
• Grupo metapléctico
• Θ10

Bibliografía

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation.
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Cite arXiv.