Topología final

En topología general, la topología final en un conjunto $X$ con respecto a una familia de aplicaciones de espacios topológicos en $X$ es la topología más fina en $X$ que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.

La noción dual es la topología inicial, que para una familia dada de aplicaciones de un conjunto $X$ en espacios topológicos es la topología menos fina en $X$ que hace que esas aplicaciones sean continuas.

Definición

Por construcción, ${𝒯}_{ℱ}$ es la topología más fina en $X$ tal que $f_i:(Y_i,{𝒯}_i)\to (X,{𝒯}_{ℱ})$ es continua para todo $i\in I$ .

Los cerrados de ${𝒯}_{ℱ}$ tienen una caracterización análoga: un subconjunto $C\subseteq X$ es cerrado de la topología final ${𝒯}_{ℱ}$ si y solo si $f_i^{-1}(C)\subseteq Y_i$ es cerrado de ${𝒯}_i$ para cada $i\in I$ .

Ejemplos

• La topología cociente es la topología final con respecto a la proyección canónica.

Referencias

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro