Problema del momento de Stieltjes

En matemáticas, el problema del momento de Stieltjes, que lleva el nombre de Thomas Joannes Stieltjes, busca las condiciones necesarias y suficientes para que una sucesión (m₀, m₁, m₂, ... ) sea de la forma

$m_n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}d\mu (x)$

para alguns medida μ. Si tal función μ existe, debe analizarse si es única.

La diferencia esencial entre este y otros problema de los momentos conocidos es que el de Stieltjes se aplica sobre una semirrecta [0,∞), mientras que en el Problema del momento de Hausdorff se considera un intervalo acotado [0, 1], y en el problema del momento de Hamburger se considera toda la recta real (−∞, ∞).

Existencia

Sea

${\mathrm{\Delta }}_n=\left[\begin{array}{ccccc}{m}_0& m_1& m_2& \cdots & m_n\\ m_1& m_2& m_3& \cdots & m_{n+1}\\ m_2& m_3& m_4& \cdots & m_{n+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_n& m_{n+1}& m_{n+2}& \cdots & m_{2n}\end{array}\right]$

y

${\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}=\left[\begin{array}{ccccc}{m}_1& m_2& m_3& \cdots & m_{n+1}\\ m_2& m_3& m_4& \cdots & m_{n+2}\\ m_3& m_4& m_5& \cdots & m_{n+3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ m_{n+1}& m_{n+2}& m_{n+3}& \cdots & m_{2n+1}\end{array}\right].$

Entonces { m_n : n = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de alguna medida en $[0,\mathrm{\infty })$ con soporte infinito si y solo si para todos los n, ambos

$\det ({\mathrm{\Delta }}_n)>0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\det \left({\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}\right)>0.$

{ m_n : n = 1, 2, 3, ... } es una secuencia de momentos de alguna medida sobre $[0,\mathrm{\infty })$ con soporte finito de tamaño m si y solo si para todo $n\le m$, ambos

$\det ({\mathrm{\Delta }}_n)>0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\det \left({\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}\right)>0$

y para todos los $n$ más grandes

$\det ({\mathrm{\Delta }}_n)=0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\det \left({\mathrm{\Delta }}_n^{(1)}\right)=0.$

Unicidad

Hay varias condiciones suficientes para la unicidad, por ejemplo, la condición de Carleman establece que la solución es única si

$\sum _{n\ge 1}{m}_n^{-1/(2n)}=\mathrm{\infty }.$

Bibliografía

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