Teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados

En matemáticas, específicamente en la teoría del análisis funcional y de los espacios de Hilbert, los teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados son generalizaciones de los teoremas de Hahn–Banach a partir de funcionales lineales (que siempre se valoran en los números reales $ℝ$ o en los números complejos $ℂ$) sobre operadores lineales valorados en espacios vectoriales topológicos (EVTs).

Definiciones

En Plantilla:Mvar e Plantilla:Mvar habrá espacios vectoriales topológicos (EVTs) sobre el cuerpo $𝕂$; y Plantilla:Math denotarán el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar, donde si Plantilla:Mvar e Plantilla:Mvar son espacios normados, entonces se dota a Plantilla:Math con su norma operatoria canónica.

Extensiones

Si Plantilla:Mvar es un subespacio vectorial de un EVT Plantilla:Mvar, entonces Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar si cada aplicación lineal continua Plantilla:Math tiene una extensión lineal continua para todo Plantilla:Mvar. Si Plantilla:Mvar e Plantilla:Mvar son espacios vectoriales normados, entonces se dice que Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión métrica de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar si se puede elegir que esta extensión lineal continua tenga una norma igual a Plantilla:Math.

Un EVT Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión de todos los subespacios de Plantilla:Mvar (a Plantilla:Mvar) si para cada subespacio vectorial Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar. Si Plantilla:Mvar e Plantilla:Mvar son espacios vectoriales normados, entonces Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión métrica de todo el subespacio de Plantilla:Mvar (a Plantilla:Mvar) si para cada subespacio vectorial Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión métrica de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar.

Un EVT Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensiónPlantilla:Sfn si para cada espacio localmente convexo Plantilla:Mvar y cada subespacio vectorial Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar.

Un espacio de Banach Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión métricaPlantilla:Sfn si para cada espacio de Banach Plantilla:Mvar y cada subespacio vectorial Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar tiene la propiedad de extensión métrica de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar.

1-extensiones

Si Plantilla:Mvar es un subespacio vectorial del espacio normado Plantilla:Mvar sobre el cuerpo $𝕂$, entonces un espacio normado Plantilla:Mvar tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar si para cada Plantilla:Math, cada aplicación lineal continua Plantilla:Math tiene una extensión $F:M\oplus (𝕂x)\to Y$ tal que Plantilla:Math. Se dice que Plantilla:Mvar tiene la propiedad inmediata de 1-extensión si Plantilla:Mvar tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar para cada espacio de Banach Plantilla:Mvar y cada subespacio vectorial Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar.

Espacios inyectivos

Un espacio localmente convexo Plantilla:Mvar es inyectivoPlantilla:Sfn si para cada espacio localmente convexo Plantilla:Mvar que contiene Plantilla:Mvar como un subespacio vectorial topológico, existe una proyección continua desde Plantilla:Mvar hasta Plantilla:Mvar.

Un espacio de Banach Plantilla:Mvar es 1-inyectivoPlantilla:Sfn o un espacio Plantilla:Math si para cada espacio de Banach Plantilla:Mvar contiene Plantilla:Mvar como un subespacio vectorial normado (es decir, la norma de Plantilla:Mvar es idéntica a la restricción habitual a Plantilla:Mvar de la norma de Plantilla:Mvar), existe una proyección continua de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar que tiene la norma 1.

Propiedades

Para que un EVT Plantilla:Mvar tenga la propiedad de extensión, debe ser completo (ya que debe ser posible extender la función identidad $\mathrm{𝟏}:Y\to Y$ desde Plantilla:Mvar hasta la completación Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar; es decir, a la aplicación Plantilla:Math).Plantilla:Sfn

Existencia

Si Plantilla:Math es un aplicación lineal continua desde un subespacio vectorial Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar a un espacio de Hausdorff completo Plantilla:Mvar, entonces siempre existe una extensión lineal continua única de Plantilla:Mvar desde Plantilla:Mvar hasta el cierre de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar.Plantilla:Sfn En consecuencia, basta con considerar únicamente aplicaciones de subespacios vectoriales cerrados a espacios completos de Hausdorff.Plantilla:Sfn

Resultados

Cualquier espacio localmente convexo que tenga la propiedad de extensión es inyectivo.Plantilla:Sfn Si Plantilla:Mvar es un espacio de Banach inyectivo, entonces para cada espacio de Banach Plantilla:Mvar, cada operador lineal continuo de un subespacio vectorial de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar tiene una extensión lineal continua a todo Plantilla:Mvar.Plantilla:Sfn

En 1953, Alexander Grothendieck demostró que cualquier espacio de Banach con la propiedad de extensión es de dimensión finita, o Plantilla:Enf es separable.Plantilla:Sfn

Plantilla:Teorema.

Ejemplos

Productos del cuerpo subyacente

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial sobre $𝕂$, donde $𝕂$ es $ℝ$ o $ℂ$ y sea $T$ cualquier conjunto. Sea $Y:={𝕂}^T$, que es el producto de $𝕂$ tomado por $|T|$, o de manera equivalente, el conjunto de todas las funciones con valores $𝕂$ en Plantilla:Mvar. Confiriendo a $Y$ su topología producto habitual, lo que lo convierte en un EVT de Hausdorff localmente convexo. Entonces, $Y$ tiene la propiedad de extensión.Plantilla:Sfn

Para cualquier conjunto $T$, el espacio Lp ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(T)$ tiene tanto la propiedad de extensión como la propiedad de extensión métrica.

Véase también

• Extensión lineal continua
• Operador lineal continuo
• Teorema de Hahn–Banach
• Teorema del hiperplano de separación

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro