Punto extremo

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Un conjunto convexo en azul claro y sus puntos extremos en rojo

En matemáticas, un punto extremo de un conjunto convexo S en un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejos, es un punto en S que no se encuentra en ningún segmento abierto uniendo dos puntos de S. En problemas de programación lineal, a un punto extremo también se le llama vértice o punto de esquina de S.[1]

Definición

En todo momento se asume que X es un espacio vectorial real o complejo.

Para cualquier p,x,y∈X, supóngase que p Plantilla:AnclavisPlantilla:Sfn x e y si x≠y, y además existe un 0<t<1 tal que p=tx+(1−t)y.

Si K es un subconjunto de X y p∈K, entonces p se denomina Plantilla:AnclavisPlantilla:Sfn de K si no se halla entre dos Plantilla:Enf distintos de K. Es decir, si Plantilla:Enf existen x,y∈K y 0<t<1 tales que x≠y y p=tx+(1−t)y. El conjunto de todos los puntos extremos de K se denota por extremo⁡(K).

Generalizaciones

Si S es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces una subvariedad lineal (es decir, un espacio afín) A del espacio vectorial se llama Plantilla:Enfsi A cumple con S (es decir, A∩S no está vacío) y cada segmento abierto I⊆S cuyo interior cumple con A es necesariamente un subconjunto de A.Plantilla:Sfn Una variedad de soporte de dimensión 0 se llama punto extremo de S.Plantilla:Sfn

Caracterizaciones

El Plantilla:AnclavisPlantilla:Sfn de dos elementos x e y en un espacio vectorial es el vector 12(x+y).

Para cualquier elemento x e y en un espacio vectorial, el conjunto [x,y]={tx+(1−t)y:0≤t≤1} se llama Plantilla:Anclaviso Plantilla:Anclavisentre x e y. El Plantilla:Anclaviso el Plantilla:Anclavisentre x e y es (x,x)=∅ cuando x=y mientras que es (x,y)={tx+(1−t)y:0<t<1} cuando x≠y.Plantilla:Sfn Los puntos x e y se denominan Plantilla:Anclavisde estos intervalos. Se dice que un intervalo es Plantilla:Anclaviso Plantilla:Anclavissi sus puntos finales son distintos. El Plantilla:Anclavises el punto medio de sus puntos extremos.

El intervalo cerrado [x,y] es igual a la envolvente convexa de (x,y) si (y solo si) x≠y. Entonces, si K es convexo y x,y∈K, entonces [x,y]⊆K.

Si K es un subconjunto no vacío de X y F es un subconjunto no vacío de K, entonces F se llama Plantilla:AnclavisPlantilla:Sfn de K si siempre que un punto p∈F se encuentre entre dos puntos de K, esos dos puntos necesariamente pertenecen a F.

Plantilla:Teorema

Ejemplos

Si a<b son dos números reales, entonces a y b son puntos extremos del intervalo [a,b]. Sin embargo, el intervalo abierto (a,b) no tiene puntos extremos.Plantilla:Sfn Cualquier intervalo en ℝ no tiene puntos extremos, mientras que cualquier intervalo no degenerado que no sea igual a ℝ sí tiene puntos extremos (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado). De manera más general, cualquier subconjunto abierto de un espacio euclídeo ℝn de dimensión finita no tiene puntos extremos.

Los puntos extremos del disco unidad en ℝ2 forman la circunferencia goniométrica.

El perímetro de cualquier polígono convexo en el plano es una cara de ese polígono.Plantilla:Sfn Los vértices de cualquier polígono convexo en el plano ℝ2 son los puntos extremos de ese polígono.

Una aplicación lineal inyectiva F:X→Y hace corresponder los puntos extremos de un conjunto convexo C⊆X con los puntos extremos del conjunto convexo F(X).Plantilla:Sfn. Esto también es cierto para aplicaciones afines inyectivas.

Propiedades

Los puntos extremos de un conjunto convexo compacto forman un espacio de Baire (con la topología subespacial), pero este conjunto puede que Plantilla:Enf en X.Plantilla:Sfn.

Teoremas

Teorema de Krein-Milman

El teorema de Krein-Milman es posiblemente uno de los teoremas más conocidos sobre puntos extremos.

Plantilla:Teorema

Para espacios de Banach

Estos teoremas son para espacios de Banach de aucerdo con la propiedad de Radon-Nikodym.

Un teorema de Joram Lindenstrauss establece que, en un espacio de Banach con la propiedad Radon-Nikodym, un conjunto cerrado y acotado no vacío tiene un punto extremo (en espacios de dimensión infinita, la propiedad de compacidad es más fuerte que las propiedades conjuntas de ser cerrado y acotado).[2]

Plantilla:Teorema

El teorema de Edgar implica el teorema de Lindenstrauss.

Nociones relacionadas

Un subconjunto convexo cerrado de un espacio vectorial topológico se llama Plantilla:Enf si cada uno de sus puntos límite (topológicos) es un punto extremo.Plantilla:Sfn La 1-esfera de cualquier espacio de Hilbert es un conjunto estrictamente convexo.Plantilla:Sfn

k-puntos extremos

De manera más general, un punto en un conjunto convexo S es k-extremo si se encuentra en el interior de un conjunto convexo de dimensión k dentro de S, pero no en un conjunto convexo de dimensión k+1 dentro de S. Por lo tanto, un punto extremo también es un punto extremo 0. Si S es un politopo, entonces los puntos extremos de k son exactamente los puntos interiores de las caras k-dimensionales de S. Más generalmente, para cualquier conjunto convexo S, los puntos extremos k se dividen en caras abiertas k-dimensionales.

El teorema de Krein-Milman de dimensión finita, debido a Minkowski, se puede demostrar rápidamente utilizando el concepto de puntos extremos k. Si S es cerrado, acotado y n-dimensional, y si p es un punto en S, entonces p es k-extremo para algún k≤n. El teorema afirma que p es una combinación convexa de puntos extremos. Si k=0, entonces es inmediato. De lo contrario, p se encuentra en un segmento rectilíneo en S que puede extenderse al máximo (porque S está cerrado y acotado). Si los puntos finales del segmento son q y r, entonces su rango extremo debe ser menor que el de p, y el teorema se deduce por inducción.

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Plantilla:Control de autoridades

  1. ↑ Plantilla:Cite web
  2. ↑ Plantilla:Cite journal
  3. ↑ Plantilla:Cite journal
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