Frontera (topología)

Frontera de la curva del terdragón.

Dado un espacio topológico $X$ y $S$ un subconjunto de $X$, se define la frontera o límite de $S$ como la intersección de la clausura de $S$ con la clausura del complemento de $S$, y se denota por $\partial S$. En otras palabras: Plantilla:Ecuación Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente: Plantilla:Ecuación Donde: $\text{int}(S)$ denota el interior de $S$.

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto $S$ es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en $S$ como en su complemento. La frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado ya que es la intersección de dos conjuntos cerrados.

Ejemplos

Sea $X$ el conjunto de los reales, con la topología usual, entonces:

• Si $S=(0,2)$, $\partial S=\{0,2\}$.
• Si $S=\mathbb{Z}$, $\partial S=\mathbb{Z}$.
• $\partial \mathbb{Q}=ℝ$

En el plano ℝ² la frontera del círculo $C(H,r)=\{P\in {ℝ}^2|d(H,P)\le r\}$ es la circunferencia de radio r y centro en H, con la topología usual.

En ℝ³:

• La frontera de la bola $B_1(x)=\{y\in {ℝ}^3|d(x,y)\le 1\}$ es la esfera de radio unidad y centro en x, o lo que es lo mismo, $\partial B_1(x)=\{y\in {ℝ}^3|d(x,y)=1\}$.

Propiedades

• La frontera de un conjunto es cerrada.
• La frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento: ∂S = ∂(S^C).

De lo que se deduce que:

• p es un punto de la frontera de un conjunto si y solo si todo entorno de p contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto que no sea del conjunto.
• Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su frontera, y es abierto si y solo si es disjunto de su frontera.
• El cierre de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera. S = S ∪ ∂S.
• La frontera de un conjunto es vacía si y solo si el conjunto es abierto y cerrado a la vez.
• En ℝⁿ, todo subconjunto cerrado es frontera de algún conjunto.

Fronteras y aplicaciones continuas

Dado un conjunto abierto y acotado $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ y una aplicación continua $f\in C^0(\overline{\mathrm{\Omega }},{ℝ}^n)$ que es inyectiva sobre $\mathrm{\Omega }$. Entonces se cumple:

• $f(\overline{\mathrm{\Omega }})=\overline{f(\mathrm{\Omega })}$
• $f(\mathrm{\Omega })=f(\text{int}\overline{\mathrm{\Omega }})\subset \text{int}f(\overline{\mathrm{\Omega }})$
• $f(\partial \mathrm{\Omega })\supset f(\overline{\mathrm{\Omega }})$

La prueba del teorema anterior puede darse en términos de topología elemental y es relativamente breve. Si además se cumple $\text{int}\overline{\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega }$ y la función continua es inyectiva sobre el compacto $\overline{\mathrm{\Omega }}$ entonces las dos inclusiones anteriores se convierten en igualdades:

• $f(\mathrm{\Omega })=f(\text{int}\overline{\mathrm{\Omega }})=\text{int}f(\overline{\mathrm{\Omega }})$
• $f(\partial \mathrm{\Omega })=f(\overline{\mathrm{\Omega }})$

Véase también

• Lagos de Wada. Ejemplo que muestra como n abiertos del plano pueden tener una frontera común.