Producto tensorial inductivo

La topología más fina localmente convexa en un espacio vectorial topológico (EVT) en $X\otimes Y,$ el producto tensorial de dos EVT localmente convexos, hace que la aplicación canónica Plantilla:Enf continua $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y$ (definida enviando $(x,y)\in X\times Y$ a $x\otimes y$) se denomina topología inductiva o topología $\iota$. Cuando $X\otimes Y$ está dotado de esta topología, se denota por $X{\otimes }_{\iota }Y$ y se denomina producto tensorial inductivo de $X$ e $Y.$Plantilla:Sfn.

Preliminares

Sean $X,Y,$ y $Z$ espacios vectoriales topológicos localmente convexos y $L:X\to Y$ una aplicación lineal.

• $L:X\to Y$ es un homomorfismo topológico u homomorfismo, si es lineal, continua, y $L:X\to \mathrm{Im}L$ es una aplicación abierta, donde $\mathrm{Im}L,$ la imagen de $L,$ tiene la topología subespacial inducida por $Y.$
  • Si $S\subseteq X$ es un subespacio de $X$, entonces tanto la aplicación cociente $X\to X/S$ como la inyección canónica $S\to X$ son homomorfismos. En particular, cualquier aplicación lineal $L:X\to Y$ se puede descomponer canónicamente de la siguiente manera: $X\to X/\ker L\stackrel{L_0}{\to }\mathrm{Im}L\to Y$ donde $L_0(x+\ker L):=L(x)$ define una biyección.
• El conjunto de operadores lineales continuos $X\to Z$ (respectivamente, operadores bilineales continuos $X\times Y\to Z$) se denotará por $L(X;Z)$ (respectivamente, $B(X,Y;Z)$), donde si $Z$ es un cuerpo escalar, entonces se puede escribir $L(X)$ (respectivamente, $B(X,Y)$).
• Se denota el espacio dual de $X$ por $X^{\prime }$ y el espacio dual algebraico (que es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en $X,$ sean continuos o no) por $X^{\mathrm{\#}}.$
  • Para aumentar la claridad de la exposición, se utiliza la convención común de escribir elementos de $X^{\prime }$ con una comilla después del símbolo (por ejemplo, $x^{\prime }$ denota un elemento de $X^{\prime }$ (no confundir con una derivada) y las variables $x$ y $x^{\prime }$ no necesitan estar relacionadas de manera alguna).
• Una aplicación lineal $L:H\to H$ desde un espacio de Hilbert sobre sí mismo se llama positiva si $⟨L(x),X⟩\ge 0$ para cada $x\in H.$ En este caso, existe una aplicación positiva única $r:H\to H,$ llamada raíz cuadrada de $L,$ tal que $L=r\circ r.$Plantilla:Sfn
  • Si $L:H_1\to H_2$ es cualquier aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert, entonces $L^{*}\circ L$ es siempre positivo. Ahora, denótese como $R:H\to H$ su raíz cuadrada positiva, que se denomina valor absoluto de $L.$ Defínase $U:H_1\to H_2$ primero en $\mathrm{Im}R$ configurando $U(x)=L(x)$ para $x=R\left(x_1\right)\in \mathrm{Im}R$ y extendiendo $U$ continuamente a $\overline{\mathrm{Im}R},$ y luego definir $U$ en $\ker R$ configurando $U(x)=0$ para $x\in \ker R$ y extender esta aplicación linealmente a todo $H_1.$ La aplicación $U{|}_{\mathrm{Im}R}:\mathrm{Im}R\to \mathrm{Im}L$ es una isometría sobreyectiva y $L=U\circ R.$
• Un aplicación lineal $\mathrm{\Lambda }:X\to Y$ se llama compacta o completamente continua si existe un entorno $U$ del origen en $X$ tal que $\mathrm{\Lambda }(U)$ es precompacta en $Y.$Plantilla:Sfn
  • En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, como $L:H\to H$, tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del Plantilla:Siglo por Fredholm y F. Riesz:Plantilla:Sfn

Existe una sucesión de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0, $r_1>r_2>\cdots >r_k>\cdots$ y una secuencia de subespacios de dimensiones finitas distintas de cero $V_i$ de $H$ ($i=1,2,\dots$) con las siguientes propiedades: (1) los subespacios $V_i$ son ortogonales por pares; (2) para cada $i$ y cada $x\in V_i,$ $L(x)=r_{i}x$; y (3) el elemento ortogonal del subespacio abarcado por ${\cup }_i{V}_i$ es igual al núcleo de $L.$Plantilla:Sfn

Notación para topologías

• $\sigma (X,X^{\prime })$ denota la topología más gruesa en $X$, lo que hace que cada aplicación en $X^{\prime }$ sea continua y $X_{\sigma (X,X^{\prime })}$ o $X_{\sigma }$ denota el espacio $X$ dotado con esta topología.
• $\sigma (X^{\prime },X)$ denota la topología *débil sobre $X^{\prime }$ y $X_{\sigma (X^{\prime },X)}$ o $X_{\sigma }^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
  • Cada $x_0\in X$ induce una aplicación $X^{\prime }\to ℝ$ definida por $\lambda \mapsto \lambda \left(x_0\right).$ $\sigma (X^{\prime },X)$ es la topología más burda de $X^{\prime }$, lo que hace que todas estas aplicaciones sean continuas.
• $b(X,X^{\prime })$ denota la topología de convergencia acotada en $X$ y $X_{b(X,X^{\prime })}$ o $X_b$ denota $X$ dotado con esta topología.
• $b(X^{\prime },X)$ denota la topología de convergencia acotada en $X^{\prime }$ o la topología dual fuerte en $X^{\prime }$ y $X_{b(X^{\prime },X)}$ o $X_b^{\prime }$ denota $X^{\prime }$ dotado con esta topología.
  • Como es habitual, si $X^{\prime }$ se considera como un espacio vectorial topológico pero no se ha dejado claro con qué topología está dotado, entonces se asumirá que la topología es $b(X^{\prime },X).$

Propiedad universal

Supóngase que $Z$ es un espacio localmente convexo y que $I$ es la aplicación canónica del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma $X\times Y\to Z,$ dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de $X\otimes Y\to Z.$Plantilla:Sfn. Entonces, cuando el dominio de $I$ está restringido a $ℬ(X,Y;Z)$ (el espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente), entonces el rango de esta restricción es el espacio $L(X{\otimes }_{\iota }Y;Z)$ de operadores lineales continuos $X{\otimes }_{\iota }Y\to Z.$ En particular, el espacio dual continuo de $X{\otimes }_{\iota }Y$ es canónicamente isomorfo al espacio $ℬ(X,Y),$ (el espacio de formas bilineales continuas separadas en $X\times Y$).

Si $\tau$ es una topología sobre un EVT localmente convexa en $X\otimes Y$ ($X\otimes Y$ con esta topología se indicará como $X{\otimes }_{\tau }Y$), entonces $\tau$ es igual a la topología del producto tensorial inductivo si y solo si tiene la siguiente propiedad:Plantilla:Sfn

Para cada EVT localmente convexo $Z,$ si $I$ es la aplicación canónico del espacio de todas las aplicaciones bilineales de la forma $X\times Y\to Z,$ dirigida al espacio de todas las aplicaciones lineales de $X\otimes Y\to Z,$ entonces cuando el dominio de $I$ está restringido a $ℬ(X,Y;Z)$ (espacio de aplicaciones bilineales continuas separadamente) entonces el rango de esta restricción es el espacio $L(X{\otimes }_{\tau }Y;Z)$ de operadores lineales continuos $X{\otimes }_{\tau }Y\to Z.$

Véase también

• Espacio normado auxiliar
• Topología inicial
• Producto tensorial inyectivo
• Operador nuclear
• Espacio nuclear
• Producto tensorial proyectivo
• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Producto tensorial topológico

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
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• Plantilla:Cita libro
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Enlaces externos

• Espacio nuclear en ncatlab