Teorema de la identidad

Plantilla:Referencias adicionales En análisis complejo y en análisis real, dos ramas de las matemáticas, el teorema de la identidad da una condición suficiente para asegurar la igualdad de funciones analíticas (es decir, que coinciden localmente con sus series de Taylor) en dominios (conjuntos abiertos conexos). A saber, si dos funciones analíticas $f,g$ en un conjunto abierto y conexo $D$ (de $ℝ$ o de $ℂ$) coinciden en un subconjunto $S\subseteq D$ que tiene un punto de acumulación, entonces deben coincidir en todo el dominio $D$.

Así, una función analítica queda unívocamente determinada por sus valores en cualquier abierto de $D$, por pequeño que sea, pues tiene puntos de acumulación, o incluso por un subconjunto contable de $D$, siempre y cuando este contenga una sucesión convergente a un punto de $D$. Informalmente, el teorema se suele resumir diciendo que las funciones analíticas son "rígidas", en oposición a, por ejemplo, las funciones continuas, que son más "flexibles", pues no basta un conjunto "tan pequeño" de puntos para determinarlas.

El teorema tiene especial importancia en el contexto del análisis complejo porque las funciones holomorfas (el equivalente complejo de las funciones derivables) son inmediatamente analíticas (ver la demostración de esto aquí). Así, toda función holomorfa en un conjunto abierto conexo queda unívocamente determinada por la imagen de un conjunto con un punto de acumulación. El resultado análogo en análisis real no es cierto, ni siquiera para funciones infinitamente derivables, pues estas no tienen por qué coincidir localmente con sus series de Taylor (es decir, no tienen por qué ser analíticas) y no se les puede aplicar el teorema de la identidad.

Por otro lado, es necesario que el dominio $D$ sea conexo. Por ejemplo, si $D$ es la unión de dos abiertos disjuntos (luego no conexo), $f$ puede valer $0$ en uno y $1$ en el otro, y $g$ valer $0$ en uno y $2$ en el otro. Ambas funciones son analíticas (porque son constantes en cada abierto) y coinciden en un conjunto (el primer abierto) que tiene puntos de acumulación. Sin embargo, $f$ y $g$ son funciones distintas.

Enunciado

Sean $f$ y $g$ funciones analíticas definidas en un conjunto abierto y conexo $D$ (ya sea de $ℝ$ o de $ℂ$). Sea $S=\{z\in U:f(z)=g(z)\}$ el conjunto de puntos donde coinciden. Si $S$ tiene un punto de acumulación $z_0$ dentro de $D$, entonces $f$ y $g$ coinciden en todo $D$ o, lo que es lo mismo, $S=D$.

Demostración

Basta demostrar el caso en el que una de las funciones (digamos $g$) es nula. El caso general se deduce como sigue: tomamos la función $f-g$ (analítica por ser resta de analíticas) y la función idénticamente nula. Si $f$ coincide con $g$ en un conjunto $S$ con un punto de acumulación en $D$, también lo hacen $f-g$ y la función 0. Por el caso que vamos a demostrar, $f-g=0$ en todo $D$, y concluimos que $f=g$ en $D$.

Ahora, sea $z_0\in D$ un punto de acumulación de $S=\{z\in D:f(z)=0\}$ (que sabemos que existe por hipótesis). Existe entonces una sucesión $(w_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ de puntos de $S$ distintos de $z_0$ que converge hacia $z_0$. En $S$, la función $f$ coincide por hipótesis con la función nula, por lo que, para cada $k\in \mathbb{N}$, tenemos que $f(w_k)=0$.

Primero vamos a demostrar que $f$ es idénticamente nula en un disco suficientemente pequeño que contiene el punto de acumulación $z_0$. Para ello, empezamos tomando $B$ un disco centrado en $z_0$ totalmente contenido en $D$ en el que $f$ coincide con una serie de potencias (podemos porque $f$ es analítica y $D$ es abierto):

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n\mathrm{\forall }z\in B$.

Veamos que $f$ se anula en todo el disco $B$. Buscando una contradicción, supongamos que $f$ no fuera idénticamente nula en el disco. Entonces tendría que existir el menor entero $m$ para el cual $a_m\ne 0$. Podríamos factorizar $f$ en el disco como

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n=a_m(z-z_0{)}^m(1+\sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{a_m}(z-z_0{)}^{n-m})=:a_m(z-z_0{)}^m(1+g(z-z_0))$.

Observamos que $1+g(z_0-z_0)=1\ne 0$, por lo que en un entorno de $z_0$ la función $1+g(z-z_0)$ no se anularía (pues $1+g(z-z_0)$ es analítica y, por tanto, continua). Pero ahora, tomando la sucesión de puntos $(w_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ distintos de $z_0$, que convergía a $z_0$, tendríamos que

1. $a_m(w_k-z_0{)}^m\ne 0$, pues los puntos $w_k$ son siempre distintos de $z_0$, y
2. $1+g(w_k-z_0)\ne 0$ para $k$ suficientemente grande, pues, al converger hacia $z_0$, hay un momento a partir del que la sucesión de $w_k$ entra en el entorno de $z_0$ donde $1+g(z-z_0)$ no se anula.

Así pues, $f(w_k)\ne 0$ para $k$ suficientemente grande, por la igualdad de arriba. Pero habíamos tomado $w_k$ de forma que $f(w_k)=0\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$. Esto es una contradicción, y proviene de suponer que $f$ no era idénticamente nula en el disco.

Con lo anterior hemos visto que $S$ tiene interior no vacío (todo el disco $B$ está en $S$, y el interior de un disco es no vacío). Ahora, sea $S^{\circ }$ el interior (no vacío) de $S$; por ser el interior de un conjunto es abierto. Si vemos que $S^{\circ }$ es cerrado, habremos acabado: en efecto, sería un subconjunto clopen del conjunto conexo $D$ y, como tal, sólo podría ser el vacío o el total. Como no es vacío, concluimos que $S^{\circ }=D$, de forma que también $S=D$. Por definición de $S$, tenemos que $f(z)=0\mathrm{\forall }z\in D$, que es lo queríamos demostrar.

Para ver que $U$ es cerrado, consideremos una sucesión $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de puntos de $S^{\circ }$ que converja a un cierto $z$ y veamos que $z\in S^{\circ }$. Tenemos que $f(z_n)=0$ para todo $n$, pues $z_n\in S^{\circ }\subseteq S$, y esa es la definición de $S$. Por continuidad de $f$, tenemos que $f(z)=0$, de donde $z\in S$. Para ver que $z$ es un punto interior de $S$ podemos usar el argumento anterior para demostrar que $f$ se anula en todo un disco alrededor de $z$. Así, hay todo un disco alrededor de $z$ que también está contenido en $S$, de manera que $z\in S^{\circ }$, como queríamos. $◻$

Bibliografía

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