Cicloide

En matemática, particularmente en cálculo diferencial, se da el nombre de cicloide a la curva descrita por un punto de la circunferencia, cuando esta rueda sobre una recta sin resbalar.^[1]

Historia

Plantilla:Caja de cita

La cicloide ha sido llamada «La Helena de los geómetras» ya que causó frecuentes disputas entre matemáticos del Plantilla:Siglo.^[2]

Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos como descubridores de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo del filósofo sirio Jámblico como evidencia de que la curva era probablemente conocida en la antigüedad.^[3] Por su parte, en 1679 el matemático inglés John Wallis atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa,^[4] pero los eruditos posteriores indicaron que o bien Wallis estaba equivocado o bien las pruebas utilizadas por Wallis habían desaparecido.^[5] El nombre de Galileo Galilei fue presentado al final del Plantilla:Siglo^[6] y al menos un autor da el crédito a Marin Mersenne (monje, antiguo amigo de Descartes).^[7] A partir de la obra de Moritz Cantor^[8] y de Siegmund Günther,^[9] los estudiosos dan ahora prioridad al matemático francés Charles de Bovelles^[10]^[11] ^[12] basándose en su descripción de la cicloide en su Introductio in geometriam, publicado en 1503.^[13] En esta obra, Bovelles identifica erróneamente el arco trazado por una rueda de rodadura como parte de un círculo mayor con un radio un 120 % más grande que la rueda más pequeña.^[5]

Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio riguroso de la curva.^[5] Según su discípulo Evangelista Torricelli,^[14] en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (construcción de un cuadrado con un área igual al área bajo la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que involucraba el trazado tanto del círculo generador como de la cicloide resultante sobre una hoja de metal, para luego cortarlos y pesarlos. Descubrió que la relación era de aproximadamente 3:1, pero de forma incorrecta concluyó que la relación era una fracción irracional, lo que hacía imposible la cuadratura.^[7] Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente supo del problema de la cuadratura por Mersenne y lo resolvió en 1634 mediante el uso del teorema de Cavalieri.^[5] Sin embargo, este trabajo no fue publicado hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles).^[15]

La construcción de la tangente de la cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió los métodos propios de Roberval, Pierre de Fermat y Descartes. Mersenne envió estos resultados a Galileo, quien a su vez se los dio a sus estudiantes Torricelli y Viviani, que fueron capaces de producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644,^[14] en la primera obra impresa sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, acabando la controversia por la muerte temprana de Torricelli en 1647.^[15]

En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.

En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistócrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli. La cicloide se emplea para resolver el problema de la tautócrona (descubierto por Christian Huygens), en el que si se desprecia el rozamiento y si se invirtiese una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, esta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.

Entre los autores de demostraciones acerca de sus propiedades se encuentra el matemático René Descartes que obtuvo mediante razonamientos efectivos y elegantes la fórmula de la recta tangente en un punto cualquiera del arco de la cicloide, empleando técnicas que después desarrollaría como la ciencia de la geometría diferencial.

Como ya se ha señalado, debido a las continuas disputas entre los matemáticos del Plantilla:Siglo la cicloide ha sido denominada "La Helena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan que esta denominación poética podría hacer referencia a las bellas propiedades de esta curva, que atrajeron a los matemáticos de la época. En el año 1658 Blaise Pascal lanzó un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar, ya sea en torno al eje de las abscisas, o en torno al eje de las ordenadas, o bien, en torno al eje de simetría del arco de cicloide. Fueron muchos los esfuerzos realizados en el Plantilla:Siglo para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que posteriormente han permitido desarrollar un gran número de aplicaciones industriales.

Ecuaciones

Ecuación paramétrica

Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio r que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:

{\begin{matrix} x = r (t - sen t) \\ y = r (1 - \cos t) \end{matrix}

donde $t$ es un parámetro real, correspondiente al ángulo girado por el círculo rodante. Para un $t$ dado, el centro del círculo está en $x = r t$ , $y = r$ . Siendo la variable $y$ función de la variable $x$ , esta cicloide tiene un período de $2 π r$ , y una altura de $2 r$ .

Ecuación cartesiana

Si se despeja la variable $t$ en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:

x = r \arccos (1 - \frac{y}{r}) - \sqrt{2 r y - y^{2}}

,

donde el único parámetro de forma es el radio $r$ de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable $y$ en el intervalo [ $0$ , $2 r$ ], y proporciona solo la mitad del primer bucle de la cicloide.

Si se desea emplear el n-ésimo semi-bucle de la cicloide, se puede utilizar la siguiente ecuación:

x = r π [n + 1 / 2 [{(- 1)}^{n} - 1]] - (- 1)^{n} [r \arccos (1 - \frac{y}{r}) - \sqrt{2 r y - y^{2}}]

Ecuación intrínseca

La ecuación en forma intrínseca es:

ρ^{2} + s^{2} = 16 r^{2}

donde $ρ$ representa su radio de curvatura en cada punto, y $s$ la correspondiente longitud de arco desde el origen.

Proposiciones

A continuación se enuncian cinco teoremas referidos a los elementos de la cicloide:

Del ángulo directriz-tangente

El ángulo entre la tangente a la cicloide, en cualquier punto de ella, y la recta directriz es igual al ángulo complementario de la mitad del ángulo de giro del radio del círculo generador.

Del ángulo directriz-normal

El ángulo entre la normal a la cicloide (en cualquiera de sus puntos) y la recta directriz es igual a la mitad del «ángulo principal».

De la propiedad esencial de la cicloide

La tangente a la cicloide pasa por el punto «superior» del círculo generador.

Del ángulo tangente-vertical

El seno del ángulo formado por la tangente a la cicloide en el punto $H$ y la vertical , es proporcional a la raíz cuadrada de la «altura» del punto $H$ .

De las condiciones de unicidad

Sean la recta $C D$ y un punto $H$ . La única curva que satisface las condiciones de la proposición ángulo tangente-vertical, y pasa por el punto $H$ es la cicloide.^[16]

Evoluta

La evoluta de la cicloide tiene la propiedad de ser exactamente la misma cicloide de la que proviene. Esto es, el extremo de un hilo tenso que inicialmente descansa sobre medio arco de una cicloide, una vez desenvuelto describe un arco de cicloide igual al que estaba adosado.

Demostración

Hay varias formas de demostrar esta afirmación. La que se presenta aquí utiliza la definición física de cicloide y la propiedad cinemática de que la velocidad instantánea de un punto es tangente a su trayectoria. En referencia a la imagen de la derecha, $P_{1}$ y $P_{2}$ son dos puntos tangentes que pertenecen a dos círculos rodantes. Los dos círculos comienzan a rodar con la misma velocidad y en la misma dirección sin deslizar. $P_{1}$ y $P_{2}$ comienzan a dibujar dos arcos de cicloide como en la imagen. Considerando la línea que conecta $P_{1}$ y $P_{2}$ en un instante arbitrario (línea roja), es posible demostrar que "la línea es en cualquier momento tangente en $P_{2}$ al arco inferior y ortogonal a la tangente en $P_{1}$ del arco superior". Según esto:

$P_{1}, Q, P_{2}$ están alineados porque $\hat{P_{1} O_{1} Q} = \hat{P_{2} O_{2} Q}$ (con igual velocidad de rotación) y por lo tanto $\hat{O_{1} Q P_{1}} = \hat{O_{2} Q P_{2}}$ . Dado que $\hat{O_{1} Q P_{2}} + \hat{O_{2} Q P_{2}} = π$ por construcción, se tiene que $\hat{P_{1} Q P_{2}} = π$ .
Si $A$ es el punto de encuentro entre la perpendicular de $P_{1}$ a la recta de $O_{1} O_{2}$ y la tangente al círculo de $P 2$ , entonces el triángulo $P_{1} A P_{2}$ es isósceles porque $\hat{Q P_{2} A} = \frac{1}{2} \hat{P_{2} O_{2} Q}$ y $\hat{Q P_{1} A} = \frac{1}{2} \hat{Q O_{1} R} =$ (es fácil demostrar la construcción visualmente) $= \frac{1}{2} \hat{Q O_{1} P_{1}}$ . Para la igualdad mencionada anteriormente entre $\hat{P_{1} O_{1} Q}$ y $\hat{Q O_{2} P_{2}}$ , entonces $\hat{Q P_{1} A} = \hat{Q P_{2} A}$ y $P_{1} A P_{2}$ son isósceles.
Trazando desde $P_{2}$ la recta ortogonal a $O_{1} O_{2}$ , desde $P_{1}$ la tangente hasta el círculo superior y llamando $B$ al punto de unión, es fácil ver que $P_{1} A P_{2} B$ es un rombo, usando los teoremas concernientes a los ángulos entre líneas paralelas
Ahora, considérese la velocidad $V_{2}$ de $P_{2}$ . Se puede ver como la suma de sus dos componentes, la velocidad de rodadura $V_{a}$ y la velocidad de deriva $V_{d}$ . Ambas velocidades son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin deslizamiento. $V_{d}$ es paralelo a $P_{1} A$ y $V_{a}$ es tangente al círculo inferior en $P_{2}$ , y por lo tanto, es paralelo a $P_{2} A$ . La velocidad total de $P_{2}, V_{2}$ es paralela a $P_{2} P_{1}$ porque ambas son las diagonales de dos rombos con lados paralelos y tiene en común con $P_{1} P_{2}$ el punto de contacto $P_{2}$ . Se deduce que el vector de velocidad $V_{2}$ se encuentra en la prolongación de $P_{1} P_{2}$ . Debido a que $V_{2}$ es tangente al arco de cicloide en $P_{2}$ , se deduce que también que $P_{1} P_{2}$ es tangente.
Análogamente, se puede demostrar fácilmente que $P_{1} P_{2}$ es ortogonal a $V_{1}$ (la otra diagonal del rombo).
El extremo de un hilo inextensible inicialmente ceñido sobre el medio arco de cicloide inferior y limitado al círculo superior en $P_{1}$ , seguirá al punto en su trayectoria sin cambiar su longitud porque la velocidad del extremo es en cada momento ortogonal al hilo (sin estiramiento ni compresión). El hilo será al mismo tiempo tangente en $P_{2}$ al arco inferior, debido a la tensión y a las condiciones consideradas. Si no fuera tangente, habría una discontinuidad en $P_{2}$ y, en consecuencia, aparecerían fuerzas de tensión desequilibradas.

Fórmulas de longitud y área

Para una cicloide común, se tiene que:

La longitud del arco OM es $L = 8 r s e n^{2} \frac{1}{4 t}$
La longitud de una rama es $L = 8 r$
El área de la región cerrada, delimitada por una rama y el eje Ox, es $A = 3 π r^{2}$ ^[17]

Estas fórmulas se demuestran a continuación.

Longitud del arco

La longitud del arco S de una cicloide viene dada por

\begin{matrix} S & = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t \\ = \int_{0}^{2 π} r \sqrt{2 - 2 \cos (t)} d t \\ = 2 r \int_{0}^{2 π} sen \frac{t}{2} d t \\ = - 4 r {[\cos \frac{t}{2}]}_{0}^{2 π} \\ = 8 r . \end{matrix}

Otra forma inmediata de calcular la longitud de la cicloide dadas las propiedades de su evoluta es considerar que cuando un cable que describe una evoluta ha sido completamente desenrollado, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4r. Debido a que el cable no cambia de longitud mientras se desprende, se deduce que la longitud de medio arco de cicloide es 4r y un arco completo es 8r.

Área

Un arco de una cicloide generado por un círculo de radio r puede ser parametrizado por

\begin{matrix} x & = r (t - sen t) \\ y & = r (1 - \cos t) \end{matrix}

con $\frac{d x}{d t} = r (1 - \cos t)$

0 \leq t \leq 2 π .

Entonces

\frac{d x}{d t} = r (1 - \cos t)

El área bajo el arco es

\begin{matrix} A & = \int_{x = 0}^{x = 2 π r} y d x = \int_{t = 0}^{t = 2 π} r^{2} (1 - \cos t)^{2} d t \\ = {r^{2} (\frac{3}{2} t - 2 sen t + \frac{1}{2} \cos t sen t) |}_{t = 0}^{t = 2 π} \\ = 3 π r^{2} . \end{matrix}

Este resultado, y algunas generalizaciones, pueden obtenerse sin cálculos mediante el cálculo visual de Mamikon.

Centro de gravedad

El baricentro de la figura encerrada entre el primer arco de una cicloide y el eje $x$ , tiene una abscisa igual a $x_{G} = π r$ . La ordenada del centro de gravedad se puede calcular con la fórmula:

y_{G} = \frac{\int y d x d y}{\int d x d y}

que puede reescribirse en la forma:

y_{G} = \frac{\frac{1}{2} \int y^{2} d x}{\int y d x} = \frac{\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{3} (1 - \cos t)^{3} d t}{\int_{0}^{2 π} r^{2} (1 - \cos t)^{2} d t}

La integral del denominador devuelve el área definida en el punto anterior. Al realizar los cálculos, se tiene que $y_{G} = \frac{5}{6} r$ .

La figura subtendida por el primer arco de la cicloide tiene así su centro de gravedad en $(x_{G}; y_{G}) = (π r; \frac{5}{6} r)$ .

Curvatura

La curvatura de la cicloide es función de la cosecante de la mitad del ángulo girado $t / 2$ :

K (t) = - \frac{| \csc (\frac{t}{2}) |}{4 r}

Tipos de cicloide

Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:

Cicloide común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (a = b),
Cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (b < a),
Cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (b > a).

siendo a el radio de la circunferencia, y b la distancia desde el centro de la circunferencia al punto P.

Curvas relacionadas

Varias curvas están relacionadas con la cicloide.

Cicloide acortada (curtata): el punto que describe la curva está dentro del círculo, que rueda sobre una línea recta.
Cicloide alargada (prolata): el punto que traza la curva está fuera del círculo, que rueda sobre una línea recta.
Trocoide: se refiere a cualquiera de las cicloides; curtatas y prolatas.
Hipocicloide: el punto está en el borde del círculo, que no rueda en una línea, sino en el interior de otro círculo.
Epicicloide: el punto está en el borde del círculo, que rueda no en una línea, sino en el exterior de otro círculo.
Hipotrocoide: como la hipocicloide, pero el punto no necesita estar en el borde del círculo.
Epitrocoide: como la epicicloide, pero el punto no necesita estar en el borde del círculo.

Todas estas curvas son ruletas, con un círculo envolviendo una trayectoria de curvatura uniforme. Las cicloides, epicicloides e hipocicloides tienen la propiedad de que cada una es semejante a su evoluta. Si q es el producto de esa curvatura por el radio del círculo, con signo positivo para epi- y negativo para hipo-, entonces la curva evoluta homotética es 1 + 2q.

Propiedades físicas

Curva braquistócrona

La cicloide es una curva braquistócrona en el sentido de Roberval, es decir, que representa la curva en la que debe deslizarse sin fricción y sin velocidad inicial un punto material pesado, colocado en un campo gravitatorio uniforme, de manera que su tiempo de recorrido es el mínimo de entre todas las curvas que unen dos puntos fijos dados. En otras palabras, es la curva de descenso más rápida para conectar dos puntos dados.

Curva tautócrona

El semiarco de una cicloide es también una curva tautócrona, es decir, una curva tal que cualquier punto material dejado caer sin velocidad inicial en la curva llega a un punto dado (el que tiene la menor altura de la cicloide) en un tiempo independiente del punto de partida.

Curva isócrona

Finalmente, es una curva isócrona en el sentido de Huygens, es decir, tal que un punto material que se mueve sin fricción tiene un movimiento periódico cuyo período es independiente de la posición inicial. Si se suspende un péndulo simple de la cúspide de una cicloide invertida, tal que la "cuerda" esté limitada entre los arcos adyacentes de la cicloide, y la longitud del péndulo es igual a la mitad de la longitud del arco de la cicloide, es decir, dos veces el diámetro del círculo generador, la oscilación del péndulo también traza una cicloide. Tal péndulo cicloidal es isócrono, independientemente de la amplitud de su movimiento. La ecuación del movimiento viene dada por:

\begin{matrix} x & = r [θ (t) - sen θ (t)] \\ y & = r [\cos θ (t) - 1] . \end{matrix}

El matemático neerlandés del Plantilla:Siglo Christiaan Huygens descubrió y probó estas propiedades de la cicloide mientras buscaba diseños de reloj de péndulo más precisos para su uso en navegación.^[18]

Estas dos últimas propiedades explican su uso en el diseño de péndulos cicloidales en relojería.

Otras propiedades notables

La trayectoria de una partícula sin velocidad inicial sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético ortogonal uniforme es una cicloide ortogonal al campo magnético.

Las propiedades especiales de la curva cáustica hacen que la cicloide también se use en óptica.

Usos

Algunas secciones abiertas de gran diámetro utilizadas en pistas de patinaje acrobático son prácticamente cicloides

Arquitectura

El arco de cicloide fue utilizado por el arquitecto Louis Isadore Kahn en su diseño para el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth. También se usó en el diseño del Hopkins Center en Hanover (Nuevo Hampshire).

Mecánica

En el diseño de los dientes de los engranajes se han empleado tradicionalmente curvas cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630) hasta principios del Plantilla:Siglo. En la actualidad solo se utilizan en mecanismos de relojería, puesto que generalmente se prefiere la evolvente del círculo. En física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.Plantilla:Cita requerida

Violines

Algunas investigaciones realizadas indican que algunas curvas transversales de las planchas de las cajas de la edad de oro de la construcción de violines están modeladas siguiendo curvas coherentes a cicloides.^[19] Trabajos posteriores indican que las cicloides curtatas no sirven como modelos generales para estas curvas,^[20] que varían considerablemente.

Toboganes

Un uso práctico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronáutica, pues se requería una forma apropiada de salir deslizándose desde un avión en caso de emergencia.Plantilla:Cita requerida

Espirógrafo

Un juguete clásico, el espirógrafo, permite trazar curvas hipotrocoides y epitrocoides. Consiste en una serie de círculos dentados con una serie de orificios, que pueden hacerse rodar sobre el interior de unos círculos huecos (también dentados) practicados en una plantilla. Introduciendo la punta de un útil de dibujo por uno de estos orificios y haciendo rodar el círculo dentado, se obtienen distintos patrones festoneados de cicloide.

Curvas cíclicas

Curva cíclica

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a al directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a al directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

Plantilla:Lista de columnas

Referencias y notas

Plantilla:Listaref

Literatura de consulta

Curvas en la Historia, Volumen I, José Manuel Álvarez, Ed. Nivola ciencia abierta 12, 2006.
A Catalog of Special Plane Curves, J. Dennis Lawrence, with 98 Ilustrations, Dover Publications, New York. 1972. (Capítulo 7 Trascendental Curves).

Enlaces externos

Plantilla:Control de autoridades

↑ N. Piskunov Cálculo diferencial e integral tomo I
↑ Plantilla:Cita libro
↑ Plantilla:Citation (citado en Whitman 1943).
↑ Plantilla:Cita publicación (Citado en Günther, p. 5).
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 Plantilla:Citation.
↑ Plantilla:Citation (Note: The first (1893) edition and its reprints state that Galileo invented the cycloid. According to Phillips, this was corrected in the second (1919) edition and has remained through the most recent (fifth) edition).
↑ ^7,0 ^7,1 Plantilla:Cite thesis
↑ Plantilla:Citation.
↑ Plantilla:Citation.
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↑ Plantilla:Citation.
↑ Plantilla:Cita publicación
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↑ ^14,0 ^14,1 Plantilla:Citation.
↑ ^15,0 ^15,1 Plantilla:Citation (cited in Whitman 1943).
↑ G.N. Berman La cicloide Historia de una curva asombrosa y de sus afines ISBN 978-5-396-00146-6
↑ I. Bronshtein et al Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes Editorial Mir Moscú (1973)
↑ C. Huygens, "The Pendulum Clock or Geometrical Demonstrations Concerning the Motion of Pendula (sic) as Applied to Clocks," Translated by R. J. Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, USA, 1986).
↑ Plantilla:Cite journal
↑ Plantilla:Cite journal

[1] N. Piskunov Cálculo diferencial e integral tomo I

[2] Plantilla:Cita libro

[Tannery-3] Plantilla:Citation (citado en Whitman 1943).

[Wallis-4] Plantilla:Cita publicación (Citado en Günther, p. 5).

[Whitman-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 Plantilla:Citation.

[Cajori-6] Plantilla:Citation (Note: The first (1893) edition and its reprints state that Galileo invented the cycloid. According to Phillips, this was corrected in the second (1919) edition and has remained through the most recent (fifth) edition).

[Roidt-7] 7,0 ^7,1 Plantilla:Cite thesis

[Cantor-8] Plantilla:Citation.

[Gunther-9] Plantilla:Citation.

[Phillips-10] Plantilla:Citation.

[Victor-11] Plantilla:Citation.

[Martin-12] Plantilla:Cita publicación

[Bovelles-13] Plantilla:Citation.

[Torricelli-14] 14,0 ^14,1 Plantilla:Citation.

[Walker-15] 15,0 ^15,1 Plantilla:Citation (cited in Whitman 1943).

[16] G.N. Berman La cicloide Historia de una curva asombrosa y de sus afines ISBN 978-5-396-00146-6

[17] I. Bronshtein et al Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes Editorial Mir Moscú (1973)

[18] C. Huygens, "The Pendulum Clock or Geometrical Demonstrations Concerning the Motion of Pendula (sic) as Applied to Clocks," Translated by R. J. Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, USA, 1986).

[19] Plantilla:Cite journal

[20] Plantilla:Cite journal

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Cicloide

Sumario

Historia