Entorno (matemática)

Un conjunto $V$ en el plano es un entorno de un punto $p$ si un pequeño disco alrededor de $p$ está contenido en $V.$.

Un rectángulo no es un entorno de ninguna de sus esquinas.

Un entorno (o vecindad) es uno de los conceptos básicos de la topología. Además, este concepto se utiliza en muchas otras áreas de las matemáticas como el análisis y la teoría de la probabilidad. Intuitivamente hablando, un entorno de un punto es un conjunto que contiene al punto y a un conjunto de los puntos más próximos a él. El aspecto geográfico de vecindad en un lugar se refleja en este concepto matemático.

El concepto de entorno está estrechamente relacionado con los conceptos de conjunto abierto y punto interior.

Definición

Si (X,Τ) es un espacio topológico y Plantilla:Mvar es un punto perteneciente a Plantilla:Mvar, un entorno de Plantilla:Mvar es un conjunto Plantilla:Mvar en el que está contenido un conjunto abierto Plantilla:Mvar que tiene como elemento al punto Plantilla:Mvar,

$p\in U\subseteq V.$

Nótese que el entorno Plantilla:Mvar no tiene por qué ser un conjunto abierto. Si Plantilla:Mvar es abierto se denomina entorno abierto. Algunos autores especifican que los entornos deben ser abiertos, por lo que es importante prestar cuidado a las diferentes definiciones.

El conjunto de todos los entornos de un punto se denomina sistema completo de entornos del punto.

Si Plantilla:Mvar es un subconjunto de Plantilla:Mvar, un entorno de Plantilla:Mvar es un conjunto Plantilla:Mvar, que contiene un conjunto abierto Plantilla:Mvar que contiene a Plantilla:Mvar. Se deduce que un conjunto Plantilla:Mvar es un entorno de Plantilla:Mvar si y solo si es un entorno de todos los puntos de Plantilla:Mvar.

$\Rightarrow \text{El conjunto }V\text{es un entorno de }S\leftrightarrow \mathrm{\forall }s\in S,s\in V$:

$\therefore S\in V$:

Clases de entorno

• Entorno reducido o entorno perforado: un entorno $V$ de un punto $a$ es un entorno reducido si el propio punto $a$ no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a $a$. Nótese que, a pesar de su nombre, un entorno reducido no es un entorno propiamente dicho ya que no contiene a $a$.
• Entornos abiertos: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno abierto de $a$ si $V$ es un conjunto abierto (es decir, $V\in T$).
• Entornos cerrados: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno cerrado de $a$ si $V$ es un conjunto cerrado.
• Entorno compacto: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno compacto de $a$ si $V$ es un conjunto compacto.
• Entorno conexo: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno conexo de $a$ si $V$ es un conjunto conexo
• Entorno conexo por caminos: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno conexo por caminos de $a$ si $V$ es un conjunto conexo por caminos.
• Entorno simplemente conexo: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno simplemente conexo de $a$ si $V$ es un conjunto simplemente conexo.
• Entorno convexo: un entorno $V$ de un punto $a$ en un espacio vectorial topológico $X$ es entorno convexo de $a$ si $V$ es un conjunto convexo.

En espacios métricos

Un conjunto $S$ en el plano y un entorno uniforme $V$ de $S.$.

En un espacio métrico Plantilla:Mvar = (Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar), un conjunto Plantilla:Mvar es un entorno de un punto Plantilla:Mvar si existe una bola abierta con centro Plantilla:Mvar y radio Plantilla:Mvar,

$B_r(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

que es contenida en Plantilla:Mvar.

Plantilla:Mvar es llamado entorno uniforme de un conjunto Plantilla:Mvar si existe un número positivo Plantilla:Mvar tal que para todos los elementos Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar,

$B_r(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

estén contenidos en Plantilla:Mvar.

Para Plantilla:Mvar > 0 el Plantilla:Mvar-entorno $S_r$ de un conjunto Plantilla:Mvar es el conjunto de todos los puntos en Plantilla:Mvar que distan menos de Plantilla:Mvar desde Plantilla:Mvar (o equivalentemente, $S_r$ es la unión de todas las bolas abiertas de radio Plantilla:Mvar que tienen centro en un punto de Plantilla:Mvar).

Se deduce entonces que un Plantilla:Mvar-entorno es un entorno uniforme, y que un conjunto es un entorno uniforme si y solo si contiene un Plantilla:Mvar-entorno para algún valor de Plantilla:Mvar.

Ejemplo

Entorno de centro a y radio ε.

Dado el conjunto de números reales $ℝ$ con la distancia euclidiana y un subconjunto Plantilla:Mvar definido como: Plantilla:Ecuación entonces Plantilla:Mvar es un entorno del conjunto $𝐍$ de números naturales, pero no es un entorno uniforme de este conjunto.

Topología de entornos

La definición superior es útil si la noción de conjunto abierto está previamente definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, primeramente definiendo su base de entornos, y entonces los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen un entorno para cada uno de sus puntos.

Una base de entornos en Plantilla:Mvar es la asignación de un filtro Plantilla:Mvar(Plantilla:Mvar) (en el conjunto Plantilla:Mvar) para cada Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar tal que:

1. el punto Plantilla:Mvar es un elemento de cada Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar(Plantilla:Mvar).
2. cada Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar(Plantilla:Mvar) contiene algún Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar(Plantilla:Mvar) tal que para cada Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar esté en Plantilla:Mvar(Plantilla:Mvar).

Entorno uniforme

En un espacio uniforme Plantilla:Mvar:=(Plantilla:Mvar, δ) Plantilla:Mvar es denominado entorno uniforme de Plantilla:Mvar si Plantilla:Mvar no es cercano a Plantilla:Mvar \ Plantilla:Mvar, tal que allí no exista un espacio uniforme que contenga a Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar \ Plantilla:Mvar.

Entorno reducido

Un entorno reducido de un punto Plantilla:Mvar es un entorno de Plantilla:Mvar, menos p. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {Plantilla:Mvar : −1 < Plantilla:Mvar < 1} es un entorno de Plantilla:Mvar = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Propiedades

Sea (X, T) un espacio topológico, Vc(x) familia de vecindades del punto x.

1. El punto x está en V para cada V elemento de Vc(x). Un punto está en cualquiera de sus vecindades.
2. Si las vecindades V y U están en Vc(x), entonces la intersección de V y U está en la familia Vc(x).
3. Si U está en Vc(x) entonces existe una vecindad V de Vc(x), tal que U está en Vc(y) para cada y miembro de V.
4. Si U está en Vc(x) y U es subconjunto de V, entonces V está en Vc(x). Un superconjunto de una vecindad también es vecindad.

Véase también

• Base de entornos
• Continuidad (matemática)
• Teoría de conjuntos

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro

• Plantilla:Cita libro

• Plantilla:Cita libro