Teorema de la tangente

Fig. 1 - Un triángulo.

En trigonometría, el teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

En la Figura 1, a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y γ son los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente establece que:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}{\tan \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}$

Aunque el teorema de la tangente no es tan conocido como el teorema del seno o el teorema del coseno, es exactamente igual de útil, y se puede utilizar en cualquiera de los casos donde se conocen dos lados y un ángulo o cuando se conocen dos ángulos y un lado.

Demostración

Para demostrar el teorema de la tangente se puede empezar con el teorema del seno:

$\frac{a}{\mathrm{sen}\alpha }=\frac{b}{\mathrm{sen}\beta }$

Llamando "q" al resultado de este cociente, se obtiene que: $a=q\mathrm{sen}\alpha$, $b=q\mathrm{sen}\beta$, por tanto

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{q\mathrm{sen}\alpha -q\mathrm{sen}\beta }{q\mathrm{sen}\alpha +q\mathrm{sen}\beta }=\frac{\mathrm{sen}\alpha -\mathrm{sen}\beta }{\mathrm{sen}\alpha +\mathrm{sen}\beta }.$

Utilizando la fórmula de Simpson:

$\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(y)=2\mathrm{sen}\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

con $x=\alpha$ y $y=\pm \beta$ se obtiene

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{2\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}=\frac{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}$