Tangente (trigonometría)

En matemática, la tangente es una función impar y es una función periódica de periodo $\pi$ con indeterminaciones en $\frac{\pi }{2}+n\pi ,n\in \mathbb{Z}$, y además una función trascendente de variable real. Su nombre se abrevia de las dos siguientes formas: tan y tg.

En trigonometría, la tangente de un ángulo (de un triángulo rectángulo) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}=\frac{BC}{OC}$

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo $\alpha .$

Esta construcción permite representar el valor del tangente para ángulos no agudos. Plantilla:Clear

Semejanza

Dada la circunferencia de radio 1 y una recta r que pasa por el centro, describe un triángulo rectángulo con ángulo $\alpha$ como en la imagen, y tenemos las siguientes relaciones por semejanzas:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{CB}{AC}=\frac{DE}{AD}=\frac{DE}{1}=DE$

El segmento $DE$ representa el valor de la tangente de $\alpha .$

Representación gráfica

Identidades

Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

• Dados los ángulos $\alpha ,\theta$:

$\mathrm{tg}(\alpha +\theta )=\frac{\mathrm{sen}(\alpha +\theta )}{\cos (\alpha +\theta )}$

• Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

$\mathrm{tg}(\alpha +\theta )=\frac{\mathrm{sen}\alpha \cos \theta +\cos \alpha \mathrm{sen}\theta }{\cos \alpha \cos \theta -\mathrm{sen}\alpha \mathrm{sen}\theta }$

• Dividiendo al numerador y al denominador por $\cos \alpha \cos \theta$:

$\mathrm{tg}(\alpha +\theta )=\frac{\frac{\mathrm{sen}\alpha \cos \theta +\cos \alpha \mathrm{sen}\theta }{\cos \alpha \cos \theta }}{\frac{\cos \alpha \cos \theta -\mathrm{sen}\alpha \mathrm{sen}\theta }{\cos \alpha \cos \theta }}$

• Separando la suma y la resta y simplificando:

$\mathrm{tg}(\alpha +\theta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\theta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\theta }$

Tangente de la diferencia de dos ángulos

• $\mathrm{tg}(\alpha +(-\theta ))=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}(-\theta )}{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}(-\theta )}$

• Al ser una función impar, se obtiene:

$\mathrm{tg}(\alpha -\theta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\theta }{1+\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\theta }$

Fórmula resumida

$\mathrm{tg}(\alpha \pm \theta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\theta }{1\mp \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\theta }$

Tangente del ángulo doble

Partiendo de

$\mathrm{tg}(\alpha +\theta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\theta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\theta }$

y haciendo $\alpha =\theta$ entonces:

$\mathrm{tg}\left(2\alpha \right)=\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$

Tangente del ángulo triple

Conociendo la tangente del ángulo ψ, hallar la tangente de 3ψ

$\mathrm{tg}\left(3\psi \right)=\frac{3\mathrm{tg}\psi -{\mathrm{tg}}^3\psi }{1-3{\mathrm{tg}}^2\psi }$

Tangente del ángulo mitad

Se trata de hallar la tangente de la mitad de θ, conociendo los de θ:

$\mathrm{tg}\frac{\theta }{2}=\frac{\mathrm{sen}\theta }{1+\cos \theta }$

Derivada de la tangente

$[\mathrm{tg}(x){]}^{\prime }={\sec }^2(x)$

Véase también

• Función impar
• Trigonometría

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld