Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas es una caracterización de las funciones homogéneas.

Enunciado

Una función $f=f(x,y,z)$ se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario $\lambda$: Plantilla:Ecuación

Si una función $f=f(x,y,z)$ es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:

Es decir, de manera más simplificada:

Demostración

Escribiendo $f=f(x_1,\dots ,x_n)$ y $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ Plantilla:Ecuación diferenciando la ecuación con respecto a $\alpha$ encontramos, aplicando la regla de la cadena, que Plantilla:Ecuación Así que: Plantilla:Ecuación En concreto, eligiendo $\alpha =1$, la anterior ecuación puede reescribirse como: Plantilla:Ecuación Para una demostración del recíproco, ver [1].

• Supongamos que $f:{ℝ}^n\to ℝ$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_i$ son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo $f=f(x_1,\dots ,x_n)$ y diferenciado la ecuación Plantilla:Ecuación con respecto a $x_i$, encontramos por la regla de la cadena que: Plantilla:Ecuación Y por tanto: Plantilla:Ecuación Y finalmente: Plantilla:Ecuación

Aplicaciones del teorema

Aplicaciones en termodinámica

Si la función de estado termodinámica es:

• Homogénea de grado 1: función de variables extensivas : $\sum _{i=1}^n{x}_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=f$
• Homogénea de grado 0: función de variables intensivas : $\sum _{i=1}^n{x}_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=0$

Bibliografía

• Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
• Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España