Derivación (matemática)

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p\in M$, llamaremos derivación en el punto $p_{}^{}$ a

$\mathrm{\forall }{\delta }_p:ℱ(M)⟶ℝ$ aplicación $ℝ-$lineal, es decir:

$\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M),\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,$

• ${\delta }_p^{}(g+f)={\delta }_p(g)+{\delta }_p(f{)}^{},$

• ${\delta }_p^{}(\lambda f)=\lambda {\delta }_p(f{)}^{}.$

y tal que ${\delta }_p(f\cdot g)=$${\delta }_p(f)g_{|p}+f_{|p}{\delta }_p(g),$ $\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M)$, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

$ℱ(M)$ es el conjunto de funciones diferenciables en $M_{}^{}$, y es un $ℝ-$álgebra conmutativa, (es un $ℝ-$espacio vectorial).

$f_{|p}^{}$ es equivalente a $f(p{)}_{}^{}$, es decir, $f_{}^{}$ evaluado en el punto $p_{}^{}.$

Ejemplos de derivación

La derivada parcial

Sea $M={ℝ}^n$ y $p\in M$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

$\begin{array}{cccc}{\frac{\partial \cdot }{\partial x_i}}_{|p}:& ℱ(M)& ⟶& ℝ.\\ & f& \mapsto & {\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}\end{array}$

Demostración

Veamos primero que es $ℝ-$lineal, es decir, que $\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M)y\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$ vemos que:

• ${\frac{\partial (f+g)}{\partial x_i}}_{|p}={\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}+{\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p},$

• ${\frac{\partial (\lambda g)}{\partial x_i}}_{|p}=\lambda {\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p}.$

Veamos finalmente que es una derivación:

${\frac{\partial (f\cdot g)}{\partial x_i}}_{|p}={\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}{g}_{|p}+f_{|p}{\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p}.$

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional

Sea $M={ℝ}^n,p\in Myv\in M:||v||=1$, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

$\begin{array}{cccc}{\frac{\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:& ℱ(M)& ⟶& ℝ\\ & f& \mapsto & {\frac{\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{array}.$

Derivación en variedades

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p\in M$, llamaremos espacio tangente a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ al $ℝ-$espacio vectorial de las derivaciones de $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$, notado por ${𝒯}_{p}M$, y sus elementos se llamaran vectores tangentes a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}.$

Consecuencias

Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M$, $\mathrm{\forall }{\delta }_p\in {𝒯}_{p}M$ y $f\in ℱ(M)$ tal que $\mathrm{\exists }{U}_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f(x)=\lambda$, $\mathrm{\forall }x\in M$, entonces tenemos que ${\delta }_p^{}f=0.$

Demostración

Por linealidad de ${\delta }_p^{}$ tenemos

${\delta }_p(f)={\delta }_p(\lambda )={\delta }_p(\lambda \cdot 1)=$ $\lambda {\delta }_p(1),$

aquí aplicando la condición de derivación a ${\delta }_p^{}(1)$ tenemos

${\delta }_p(1)={\delta }_p(1\cdot 1)=$ ${\delta }_p(1)1+1{\delta }_p^{}(1)=$ ${\delta }_p(1)+{\delta }_p^{}(1),$

de simplificar, este último, resulta ${\delta }_p^{}(1)=0$ aplicadolo al anterior resulta que ${\delta }_p^{}(f)=0.$

Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$:

• la función meseta $\rho$ asociada a $(p,V{)}_{}^{}$, donde $\rho (x)=1,$ $\mathrm{\forall }x\in k\subset V,k$ compacto cuyo interior contiene a $p_{}^{}.$

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M,\mathrm{\forall }{\delta }_p\in {𝒯}_{p}M$, $f\in ℱ(M)$ y $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V{)}_{}^{}$, tenemos que:

${\delta }_p^{}(\rho \cdot f)={\delta }_p(f).$

Demostración

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que ${\delta }_p^{}(\rho \cdot f)=$${\delta }_p^{}(\rho )f(p)+\rho (p){\delta }_p(f)$, por la propiedad anterior tenemos que ${\delta }_p^{}(\rho \cdot f)=$$0\cdot f(p)+1\cdot {\delta }_p^{}(f)=$${\delta }_p^{}(f).$

Propiedad

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M,\mathrm{\forall }{\delta }_p\in {𝒯}_{p}M$ y $f,g\in ℱ(M)$ tal que $\mathrm{\exists }{V}_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f_{|V}^{}=g_{|V}$, entonces tenemos que ${\delta }_p^{}(f)={\delta }_p(g)$.

Demostración

Sea $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V{)}_{}^{}$, tenemos así que $\rho \cdot f=\rho \cdot g_{}^{}$ en todo $M_{}^{}$ también $\rho \cdot f,\rho \cdot g\in ℱ(M)$ por tanto ${\delta }_p^{}(\rho \cdot f)={\delta }_p(\rho \cdot g)$ y por la propiedad anterior tenemos que ${\delta }_p^{}(f)={\delta }_p(g).$

Tipos de derivaciones

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

• Derivada de una aplicación entre variedades
• Derivada exterior
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Diferencial de una función
• Derivada parcial
• Derivada funcional

Referencias

Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.