Conexión afín

Una conexión afín en la esfera hace rodar el plano tangente afín de un punto a otro. Al hacerlo, el punto de contacto traza una curva en el plano: el desarrollo

En geometría diferencial, una conexión afínPlantilla:Refn es un objeto geométrico en una variedad diferenciable que conecta espacios tangentes cercanos, por lo que permite que campos vectoriales tangentes sean diferenciables como si fueran funciones en la variedad con valores en un espacio vectorial fijo. Las conexiones se encuentran entre los métodos más simples para definir la diferenciación de secciones de fibrados vectoriales.Plantilla:Sfn

La noción de conexión afín tiene sus raíces en la geometría del Plantilla:Siglo y en el cálculo tensorial, pero no fue desarrollada completamente hasta principios de la década de 1920 por Élie Cartan (como parte de su teoría general de conexiones) y por Hermann Weyl (quien utilizó la noción como parte de sus fundamentos para la relatividad general). La terminología se debe a CartanPlantilla:Refn y tiene su origen en la identificación de espacios tangentes en un espacio euclídeo Plantilla:Math por traslación: la idea es que una elección de conexión afín hace que una variedad se parezca infinitamente al espacio euclídeo, no exactamente infinitamente diferenciable, pero como un espacio afín.

En cualquier variedad de dimensión positiva hay infinitas conexiones afines. Si la variedad está además dotada de un tensor métrico, entonces existe una elección natural de conexión afín, llamada conexión de Levi-Civita. La elección de una conexión afín equivale a prescribir una forma de diferenciar campos vectoriales que satisface varias propiedades razonables (linealidad y la regla de Leibniz). Esto produce una posible definición de una conexión afín como la derivada covariante o la conexión (lineal) en un fibrado tangente. La elección de una conexión afín también equivale a una noción de transporte paralelo, que es un método para transportar vectores tangentes en curvas. Esto también define un transporte paralelo en el haz de sistemas de referencia. El transporte paralelo infinitesimal en el haz de sistemas de referencia produce otra descripción de una conexión afín, ya sea como una conexión de Cartan para el grupo afín o como conexión principal en el haz de sistemas de referencia.

Los principales invariantes de una conexión afín son su torsión y su curvatura. La torsión mide lo cerca que se puede recuperar el corchete de Lie de los campos vectoriales de la conexión afín. También se pueden utilizar conexiones afines para definir geodésicas (afines) en una variedad, generalizando las líneas rectas del espacio euclídeo, aunque la geometría de esas "líneas rectas" puede ser muy diferente de la geometría euclídea habitual. Las principales diferencias se resumen en la curvatura de la conexión.

Motivación e historia

Un variedad diferenciable es un objeto matemático que localmente se parece a una deformación suave del espacio euclídeo Plantilla:Math: por ejemplo, una curva o superficie suave se parece localmente a una deformación suave de una línea o un plano. Las funciones suaves y los campos vectoriales se pueden definir sobre variedades, tal como se puede hacer en el espacio euclídeo, y las funciones escalares sobre variedades se pueden diferenciar de forma natural. Sin embargo, la diferenciación de campos vectoriales es menos sencilla: se trata de una cuestión sencilla en el espacio euclídeo, porque el espacio tangente de los vectores basados en un punto Plantilla:Mvar puede identificarse naturalmente (por traslación) con el espacio tangente en un punto cercano Plantilla:Mvar. En una variedad general, no existe tal identificación natural entre espacios tangentes cercanos, por lo que los vectores tangentes en puntos cercanos no se pueden comparar de una manera bien definida. La noción de conexión afín se introdujo para remediar este problema, conectando espacios tangentes cercanos. Los orígenes de esta idea se remontan a dos fuentes principales: la teoría de superficies y el cálculo tensorial.

Motivación de la teoría de superficies

Considérese una superficie lisa Plantilla:Mvar en un espacio euclídeo tridimensional. Cerca de cualquier punto, Plantilla:Mvar puede aproximarse por su tangente en ese punto, que es un espacio afín del espacio euclídeo. Los geómetras diferenciales del Plantilla:Siglo estaban interesados en la noción de desarrollo en la que una superficie rodaba sobre otra, sin deslizar ni torcerse. En particular, el plano tangente a un punto de Plantilla:Mvar se puede hacer rodar sobre Plantilla:Mvar: esto debería ser fácil de imaginar cuando Plantilla:Mvar es una superficie como la 2-esfera, que es el límite suave de una región convexa. A medida que el plano tangente rueda sobre Plantilla:Mvar, el punto de contacto traza una curva en Plantilla:Mvar. Por el contrario, dada una curva en Plantilla:Mvar, el plano tangente se puede desplazar en esa curva. Esto proporciona una manera de identificar los planos tangentes en diferentes puntos en la curva: en particular, un vector tangente en el espacio tangente en un punto de la curva se identifica con un vector tangente único en cualquier otro punto de la curva. Estas identificaciones siempre vienen dadas por la transformación afín de un plano tangente en otro.

Esta noción de transporte paralelo de vectores tangentes mediante transformaciones afines en una curva tiene un rasgo característico: el punto de contacto del plano tangente con la superficie siempre se mueve con la curva bajo traslación paralela (es decir, cuando la tangente al plano rueda en la superficie, el punto de contacto se mueve). Esta condición genérica es característica de las conexiones de Cartan. En enfoques más modernos, el punto de contacto se considera el origen en el plano tangente (que entonces es un espacio vectorial), y el movimiento del origen se corrige mediante una traslación, de modo que el transporte paralelo es lineal en lugar de afín.

Sin embargo, desde el punto de vista de las conexiones de Cartan, los subespacios afines de los espacios euclídeos son superficies modelo: son las superficies más simples del espacio tridimensional euclídeo y son homogéneas bajo el grupo afín del plano. Y cada superficie lisa tiene una superficie modelo única tangente a ella en cada punto. Estas superficies modelo son geometrías Klein en el sentido de expresado en el programa de Erlangen promovido por Felix Klein. De manera más general, un espacio afín de dimensión Plantilla:Mvar es una geometría de Klein para el grupo afín Plantilla:Math, siendo el estabilizador de un punto el grupo lineal general Plantilla:Math. Una variedad Plantilla:Mvar afín es entonces una variedad que se parece infinitamente al espacio afín de dimensión Plantilla:Mvar.

Motivación a partir del cálculo tensorial

Históricamente, se usaba la derivada covariante (o conexión de Levi-Civita dada por la métrica) para describir la tasa de variación de un vector en la dirección de otro vector. Aquí, en el espacio euclídeo bidimensional perforado, el campo vectorial azul Plantilla:Mvar envía la 1-forma Plantilla:Math a 0,07 en todas partes. El campo vectorial rojo Plantilla:Mvar envía el Plantilla:Math de forma única a Plantilla:Math en todas partes. Respaldada por la métrica Plantilla:Math, la conexión de Levi-Civita Plantilla:Math es 0 en todas partes, lo que indica que Plantilla:Mvar no tiene cambios en Plantilla:Mvar. En otras palabras, Plantilla:Mvar se transporta paralelamente en cada círculo concéntrico. Plantilla:Math en todas partes, lo que envía Plantilla:Math a 0,5 en todas partes, lo que implica que Plantilla:Mvar tiene una tasa de cambio "constante" en la dirección radial

La segunda motivación para las conexiones afines proviene de la noción de derivada covariante de campos vectoriales. Antes de la llegada de los métodos independientes del sistema de coordenadas, era necesario trabajar con campos vectoriales mediante encajes y sus respectivos vectores en un atlas. Estos componentes se pueden diferenciar, pero las derivadas no se transforman de manera manejable ante cambios de coordenadas. Los términos de corrección fueron introducidos por Elwin Bruno Christoffel (siguiendo las ideas de Bernhard Riemann) en la década de 1870, de modo que la derivada (corregida) de un campo vectorial en otro transformado covariantemente bajo transformaciones de coordenadas (estos términos de corrección pasaron a conocerse posteriormente como símbolos de Christoffel).

Esta idea fue desarrollada en la teoría del cálculo diferencial absoluto (ahora conocido como cálculo tensorial) por Gregorio Ricci-Curbastro y su alumno Tullio Levi-Civita entre 1880 y principios del Plantilla:Siglo.

Sin embargo, el cálculo tensorial realmente cobró vida con el advenimiento de la teoría de Albert Einstein de la relatividad general en 1915. Unos años después, Levi-Civita formalizó la conexión única asociada a una métrica de Riemann, ahora conocida como conexión de Levi-Civita. Alrededor de 1920, Hermann Weyl, estudió conexiones afines más generales, desarrollando una base matemática detallada para la relatividad general, y Élie Cartan estableció el vínculo con las ideas geométricas provenientes de la teoría de superficies.

Aproximaciones

Esta compleja historia ha llevado al desarrollo de enfoques y generalizaciones muy diferentes del concepto de conexión afín.

El enfoque más popular es probablemente la definición motivada por las derivadas covariantes. Por un lado, las ideas de Weyl fueron retomadas por los físicos con la forma de la teoría de campo de gauge y de la derivada covariante gauge. Por otro lado, la noción de diferenciación covariante fue abstraída por Jean-Louis Koszul, quien definió las conexiones sobre fibrados vectoriales (denominadas lineales o de Koszul). En esta terminología, una conexión afín es simplemente una derivada covariante o una conexión (lineal) en el fibrado tangente.

Sin embargo, este enfoque no explica la geometría detrás de las conexiones afines ni cómo adquirieron su nombre.Plantilla:Refn El término realmente tiene su origen en la identificación de espacios tangentes en el espacio euclídeo mediante traslación: esta propiedad significa que el espacio euclídeo Plantilla:Mvar es un espacio afín (alternativamente, el espacio euclídeo es un espacio homogéneo principal o torsor bajo el grupo de traslaciones, que es un subgrupo del grupo afín). Como se mencionó en la introducción, hay varias maneras de precisar el concepto: se usa el hecho de que una conexión afín define una noción de transporte paralelo de campos vectoriales en una curva. Esto también define un transporte paralelo en el haz de sistemas de referencia. El transporte paralelo infinitesimal en el haz de sistemas de referencia produce otra descripción de una conexión afín, ya sea como una conexión de Cartan para el grupo afín Plantilla:Math o como una conexión principal Plantilla:Math en el haz de sistemas de referencia.

Definición formal como operador diferencial

Sea Plantilla:Mvar una variedad suave y sea Plantilla:Math el espacio de campos vectoriales en Plantilla:Mvar, es decir, el espacio de secciones suaves del fibrado tangente Plantilla:Math. Entonces una conexión afín en Plantilla:Mvar es un operador bilineal

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)\times \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)& \to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)\\ (X,Y)& \mapsto {\mathrm{\nabla }}_{X}Y,\end{array}$

de modo que para todos los Plantilla:Mvar en el conjunto de funciones suaves en Plantilla:Math, escrito Plantilla:Math, y todos los campos vectoriales Plantilla:Math en Plantilla:Mvar:

1. Plantilla:Math, es decir, Plantilla:Math es Plantilla:Math-lineal en la primera variable;
2. Plantilla:Math, donde Plantilla:Math denota la derivada direccional; es decir, Plantilla:Math satisface la regla de Leibniz en la segunda variable.

Propiedades elementales

• De la propiedad 1 anterior se deduce que el valor de Plantilla:Math en un punto Plantilla:Math depende solo del valor de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar y no del valor de Plantilla:Mvar en Plantilla:Math. También se deduce de la propiedad 2 anterior que el valor de Plantilla:Math en un punto Plantilla:Math depende solo del valor de Plantilla:Mvar en una vecindad de Plantilla:Mvar.
• Si Plantilla:Math son conexiones afines, entonces el valor en Plantilla:Mvar de Plantilla:Math se puede escribir Plantilla:Math donde

${\mathrm{\Gamma }}_x:{\mathrm{T}}_{x}M\times {\mathrm{T}}_{x}M\to {\mathrm{T}}_{x}M$ es bilineal y depende suavemente de Plantilla:Mvar (es decir, define un homomorfismo de haz suave). Por el contrario, si Plantilla:Math es una conexión afín y Plantilla:Math es un homomorfismo de haz bilineal suave (llamado forma de conexión en Plantilla:Mvar), entonces Plantilla:Math es una conexión afín.

• Si Plantilla:Mvar es un subconjunto abierto de Plantilla:Math, entonces el haz tangente de Plantilla:Mvar es el fibrado trivial Plantilla:Math. En esta situación hay una conexión afín canónica Plantilla:Math en Plantilla:Mvar: cualquier campo vectorial Plantilla:Mvar está dado por una función suave Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar a Plantilla:Math. Entonces, Plantilla:Math es el campo vectorial correspondiente a la función suave Plantilla:Math de Plantilla:Mvar a Plantilla:Math. Por lo tanto, cualquier otra conexión afín Plantilla:Math en Plantilla:Mvar puede escribirse Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es una forma de conexión en Plantilla:Mvar.
• De manera más general, un fibrado del paquete tangente es un isomorfismo de haz entre la restricción de Plantilla:Math a un subconjunto abierto Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar y Plantilla:Math. La restricción de una conexión afín Plantilla:Math a Plantilla:Mvar se puede escribir en la forma Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es una forma de conexión en Plantilla:Mvar.

Transporte paralelo para conexiones afines

Transporte paralelo de un vector tangente a lo largo de una curva en la esfera

La comparación de vectores tangentes en diferentes puntos de una variedad, por lo general no es un proceso bien definido. Una conexión afín proporciona una manera de remediar el problema utilizando la noción de transporte paralelo y, de hecho, esta noción puede usarse para dar una definición de conexión afín.

Sea Plantilla:Mvar una variedad con una conexión afín Plantilla:Math. Entonces, se dice que un campo vectorial Plantilla:Mvar es paralelo si Plantilla:Math en el sentido de que para cualquier campo vectorial Plantilla:Mvar, Plantilla:Math. Intuitivamente hablando, los vectores paralelos tienen todas sus derivadas iguales a cero y, por lo tanto, en cierto sentido son constantes. Al evaluar un campo vectorial paralelo en dos puntos Plantilla:Mvar e Plantilla:Mvar, se obtiene una identificación entre un vector tangente en Plantilla:Mvar y uno en Plantilla:Mvar. Se dice que estos vectores tangentes son transportes paralelos entre sí.

Los campos vectoriales paralelos distintos de cero no existen, en general, porque la ecuación Plantilla:Math es una ecuación en derivadas parciales que es sobredeterminado: la condición de integrabilidad para esta ecuación es la desaparición de la curvatura de Plantilla:Math (véase más abajo). Sin embargo, si esta ecuación se restringe a una curva desde Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar, se convierte en una ecuación diferencial ordinaria. Entonces, existe una solución única para cualquier valor inicial de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar.

Más precisamente, si Plantilla:Math es una curva suave parametrizada por un intervalo Plantilla:Math y Plantilla:Math, donde Plantilla:Math, entonces un campo vectorial Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar (y en particular, el valor de este campo vectorial en Plantilla:Math) se denomina transporte paralelo de Plantilla:Mvar a lo largo de Plantilla:Mvar si

1. Plantilla:Math, para todos los Plantilla:Math
2. Plantilla:Math.

Formalmente, la primera condición significa que Plantilla:Mvar es paralelo con respecto a la conexión regrediente en un haz regrediente Plantilla:Math. Sin embargo, en un fibrado es un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, que tiene una solución única para cualquier condición inicial dada por la segunda condición (por ejemplo, por el teorema de Picard-Lindelöf).

Por lo tanto, el transporte paralelo proporciona una forma de desplazar vectores tangentes en una curva utilizando la conexión afín para mantenerlos apuntando en la misma dirección en un sentido intuitivo, y esto proporciona una aplicación lineal entre los espacios tangentes en los dos extremos de la curva. El isomorfismo obtenido de esta manera dependerá en general de la elección de la curva: si no es así, entonces el transporte paralelo en cada curva se puede utilizar para definir campos vectoriales paralelos en Plantilla:Mvar, lo que solo puede suceder si la curvatura de Plantilla:Math es cero.

Un isomorfismo lineal está determinado por su acción sobre una base ordenada o sistema de referencia. Por lo tanto, el transporte paralelo también puede caracterizarse como una forma de transportar elementos del haz de sistemas de referencia (tangente) Plantilla:Math en una curva. En otras palabras, la conexión afín proporciona una elevación de cualquier curva Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar a una curva Plantilla:Mvar en Plantilla:Math.

Definición formal de un haz de sistemas de referencia

Una conexión afín también se puede definir como la [[Conexión (haz principal)|conexión principal Plantilla:Math]] Plantilla:Mvar en un haz de sistemas de referencia Plantilla:Math o Plantilla:Math de una variedad Plantilla:Mvar. Más detalladamente, Plantilla:Mvar es una aplicación suave desde el haz tangente Plantilla:Math del haz de sistemas de referencia al espacio de matrices Plantilla:Math (que es el álgebra de Lie Plantilla:Math del grupo de Lie Plantilla:Math de matrices Plantilla:Math invertibles) que satisface dos propiedades:

1. Plantilla:Mvar es equivariante con respecto a la acción de Plantilla:Math sobre Plantilla:Math y Plantilla:Math;
2. Plantilla:Math para cualquier Plantilla:Mvar en Plantilla:Math, donde Plantilla:Mvar es el campo vectorial en Plantilla:Math correspondiente a Plantilla:Mvar.

Tal conexión Plantilla:Mvar define inmediatamente una derivada covariante no solo en el haz tangente, sino en el fibrado vectorial asociado a cualquier representación de grupo de Plantilla:Math, incluidos los haces tensoriales y las densidades tensoriales. Por el contrario, una conexión afín en el paquete tangente determina una conexión afín en el paquete de marcos, por ejemplo, al requerir que Plantilla:Mvar desaparezca en vectores tangentes a las elevaciones de curvas al paquete de marcos definido por transporte paralelo.

El haz de sistemas de referencia también viene equipado con una forma de soldadura Plantilla:Math que es horizontal en el sentido de que desaparece en los vectores verticales, como los valores puntuales de los campos vectoriales Plantilla:Mvar. De hecho, Plantilla:Mvar se define primero proyectando un vector tangente (a Plantilla:Math en un retículo Plantilla:Mvar) a Plantilla:Mvar, y a continuación tomando las componentes de este vector tangente en Plantilla:Mvar con respecto a la retícula Plantilla:Mvar. Téngase en cuenta que Plantilla:Mvar también es equivalente a Plantilla:Math (donde Plantilla:Math actúa sobre Plantilla:Math mediante multiplicación de matrices).

El par Plantilla:Math define un isomorfismo de haz de Plantilla:Math con el haz trivial Plantilla:Math, donde Plantilla:Math es el producto cartesiano de Plantilla:Math y Plantilla:Math (visto como el álgebra de Lie del grupo afín, que en realidad es un producto semidirecto; véase más abajo).

Conexiones afines como conexiones de Cartan

Las conexiones afines se pueden definir dentro del sistema de referencia general de Cartan. En el enfoque moderno, esto está estrechamente relacionado con la definición de conexiones afines en el haz de sistemas de referencia. De hecho, en una formulación, una conexión de Cartan es un paralelismo absoluto de un paquete principal que satisface unas determinadas propiedades. Desde este punto de vista, el Plantilla:Math de una forma con valor Plantilla:Math en el haz de sistemas de referencia (de una variedad afín) es una conexión de Cartan.

Sin embargo, el enfoque original de Cartan era diferente de este en varios aspectos:

• No existía el concepto de haces sistemas de referencia o haces principales
• Una conexión era vista en términos de transporte paralelo entre puntos infinitamente cercanosPlantilla:Refn
• Este transporte paralelo era afín, más que lineal
• Los objetos transportados no eran vectores tangentes en el sentido moderno, sino elementos de un espacio afín con un punto marcado, que la conexión de Cartan finalmente se identifica con el espacio tangente

Justificación e intuición histórica

Los puntos que se acaban de plantear son más fáciles de explicar a la inversa, partiendo de la motivación proporcionada por la teoría de superficies. En esta situación, aunque los planos que ruedan sobre la superficie son planos tangentes en un sentido intuitivo, la noción de espacio tangente es en realidad una noción de infinitesimal,Plantilla:Refn mientras que los planos, como [espacios afínes de Plantilla:Math, tienen una extensión infinita. Sin embargo, todos estos planos afines tienen un punto marcado, el punto de contacto con la superficie, y son tangentes a la superficie en este punto. Por tanto, la confusión surge porque un espacio afín con un punto marcado puede identificarse con su espacio tangente en ese punto. Sin embargo, el transporte paralelo definido por rodadura no fija este origen: es afín en lugar de lineal. El transporte lineal paralelo se puede recuperar aplicando una traslación.

Abstrayendo esta idea, una variedad afín debería ser, por lo tanto, una variedad Plantilla:Mvar Plantilla:Mvar con un espacio afín Plantilla:Math, de dimensión Plantilla:Mvar, unido a cada Plantilla:Math en un punto marcado Plantilla:Math, junto con un método para transportar elementos de estos espacios afines en cualquier curva Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. Este método debe satisfacer varias propiedades:

1. Para dos puntos cualesquiera Plantilla:Math en Plantilla:Mvar, el transporte paralelo es una transformación afín de Plantilla:Math a Plantilla:Math
2. El transporte paralelo se define infinitamente en el sentido de que es diferenciable en cualquier punto de Plantilla:Mvar y depende solo del vector tangente a Plantilla:Mvar en ese punto
3. La derivada del transporte paralelo en Plantilla:Mvar determina una aplicación lineal de Plantilla:Math a Plantilla:Math

Estos dos últimos puntos son bastante difíciles de precisar, por lo que las conexiones afines se definen más a menudo de forma infinitesimal. Para motivar esto, basta considerar el grado de afinidad con el que el sistema de referencia se transforma infinitesimalmente con respecto al transporte paralelo. (este es el origen del sistema de referencia móvil de Cartan). Un sistema de referencia afín en un punto consta de una lista Plantilla:Math, donde Plantilla:MathPlantilla:Refn y Plantilla:Math forman una base de Plantilla:Math. La conexión afín viene dada simbólicamente por un sistema diferencial de primer orden.

$(*)\{\begin{array}{cc}\mathrm{d}p& ={\theta }^1{𝐞}_1+\cdots +{\theta }^n{𝐞}_n\\ \mathrm{d}{𝐞}_i& ={\omega }_i^1{𝐞}_1+\cdots +{\omega }_i^n{𝐞}_n\end{array}i=1,2,\dots ,n$

definido por una colección de 1-formas Plantilla:Math. Geométricamente, un marco afín sufre un desplazamiento que se desplaza en una curva Plantilla:Mvar de Plantilla:Math a Plantilla:Math dada (aproximadamente o infinitesimalmente) por

$\begin{array}{cc}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))& =({\theta }^1({\gamma }^{\prime }(t)){𝐞}_1+\cdots +{\theta }^n({\gamma }^{\prime }(t)){𝐞}_n)\mathrm{\delta }t\\ {𝐞}_i(\gamma (t+\delta t))-{𝐞}_i(\gamma (t))& =({\omega }_i^1({\gamma }^{\prime }(t)){𝐞}_1+\cdots +{\omega }_i^n({\gamma }^{\prime }(t)){𝐞}_n)\delta t.\end{array}$

Además, se requiere que los espacios afines Plantilla:Math sean tangentes a Plantilla:Mvar en el sentido informal de que el desplazamiento de Plantilla:Math en Plantilla:Mvar puede identificarse (aproximadamente o infinitesimalmente) con el vector tangente Plantilla:Math a Plantilla:Mvar en Plantilla:Math (que es el desplazamiento infinitesimal de Plantilla:Mvar) . Desde

$a_x(\gamma (t+\delta t))-a_x(\gamma (t))=\theta ({\gamma }^{\prime }(t))\delta t,$

donde Plantilla:Mvar está definido por Plantilla:Math, esta identificación viene dada por Plantilla:Mvar, por lo que el requisito es que Plantilla:Mvar sea un isomorfismo lineal en cada punto.

El espacio afín tangencial Plantilla:Math se identifica así intuitivamente con una "vecindad afín infinitesimal" de Plantilla:Mvar.

El punto de vista moderno hace que toda esta intuición sea más precisa utilizando haces principales (la idea esencial es reemplazar un sistema de referencia o un sistema de referencia variable por el espacio de todos los sistemas de referencias y funciones en este espacio). También se inspira en el programa de Erlangen promovido por Felix Klein en el que una geometría se define como un espacio homogéneo. El espacio afín es una geometría en este sentido y está equipado con una conexión de Cartan plana. Por lo tanto, una variedad afín general se considera una deformación curva de la geometría del modelo plano del espacio afín.

Espacio afín como geometría del modelo plano

Definición de un espacio afín

Informalmente, un espacio afín es un espacio vectorial sin una elección fija de origen. Describe la geometría de puntos y vectores libres en el espacio. Como consecuencia de la falta de origen, los puntos en el espacio afín no se pueden sumar, ya que esto requiere una elección de origen con el cual formar la ley del paralelogramo para la suma de vectores. Sin embargo, se puede agregar un vector Plantilla:Mvar a un punto Plantilla:Mvar colocando el punto inicial del vector en Plantilla:Mvar y luego transportando Plantilla:Mvar al punto terminal. La operación Plantilla:Math así descrita es la traslación de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. En términos técnicos, el espacio Plantilla:Mvar afín es un conjunto Plantilla:Math equipado con un acción transitiva libre del grupo de vectores Plantilla:Math mediante esta operación de traslación de puntos: Plantilla:Math es, por lo tanto, un espacio homogéneo principal para el grupo de vectores Plantilla:Math.

El grupo lineal general Plantilla:Math es el grupo de transformaciones de Plantilla:Math que preserva la estructura lineal de Plantilla:Math en el sentido de Plantilla:Math. Por analogía, el grupo afín Plantilla:Math es el grupo de transformaciones de Plantilla:Math que preservan la estructura afín. Por lo tanto, Plantilla:Math debe preservar las traslaciones en el sentido de que

$\phi (p+v)=\phi (p)+T(v)$

donde Plantilla:Mvar es una transformación lineal general. La aplicación que envía Plantilla:Math a Plantilla:Math es un homomorfismo de grupos. Su núcleo es el grupo de traslaciones Plantilla:Math. El estabilizador de cualquier punto Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar se puede identificar con Plantilla:Math usando esta proyección, lo que realiza el grupo afín como un producto semidirecto de Plantilla:Math y Plantilla:Math, y el espacio afín como el espacio homogéneo Plantilla:Math.

Sistemas de referencia afines y la conexión afín plana

Un sistema de referencia afín para Plantilla:Mvar consta de un punto Plantilla:Math y una base Plantilla:Math del espacio vectorial Plantilla:Math. El grupo lineal general Plantilla:Math actúa libremente sobre el conjunto Plantilla:Math de todos los marcos afines fijando Plantilla:Mvar y transformando la base Plantilla:Math de la forma habitual, y el mapa Plantilla:Mvar que envía un sistema de referencia afín Plantilla:Math a Plantilla:Mvar es la clase de equivalencia. Por lo tanto, Plantilla:Math es un Plantilla:Math]] principal sobre Plantilla:Mvar. La acción de Plantilla:Math se extiende naturalmente a una acción transitiva libre del grupo afín Plantilla:Math sobre Plantilla:Math, de modo que Plantilla:Math es un Plantilla:Math-torsor, y la elección de un sistema de referencia identifica a Plantilla:Math con el haz principal Plantilla:Math.

En Plantilla:Math hay una colección de funciones Plantilla:Math definidas por

$\pi (p;{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n)=p$

(como antes) y

${\epsilon }_i(p;{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n)={𝐞}_i.$

Después de elegir un punto base para Plantilla:Mvar, todas estas son funciones con valores en Plantilla:Math, por lo que es posible tomar sus derivadas exteriores para obtener formas diferenciales con valores en Plantilla:Math. Dado que las funciones Plantilla:Mvar producen una base para Plantilla:Math en cada punto de Plantilla:Math, estas 1-formas deben poder expresarse como sumas de la forma

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\pi & ={\theta }^1{\epsilon }_1+\cdots +{\theta }^n{\epsilon }_n\\ \mathrm{d}{\epsilon }_i& ={\omega }_i^1{\epsilon }_1+\cdots +{\omega }_i^n{\epsilon }_n\end{array}$

para alguna colección Plantilla:Math de formas únicas de valor real en Plantilla:Math. Este sistema de formas únicas en el haz principal Plantilla:Math define la conexión afín en Plantilla:Mvar.

Tomando la derivada exterior por segunda vez, y utilizando tanto el Plantilla:Math como la independencia lineal de los Plantilla:Mvar, se obtienen las siguientes relaciones:

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}{\theta }^j-\sum _i{\omega }_i^j\wedge {\theta }^i& =0\\ \mathrm{d}{\omega }_i^j-\sum _k{\omega }_k^j\wedge {\omega }_i^k& =0.\end{array}$

Estas son las ecuaciones de Maurer-Cartan para el grupo de Lie Plantilla:Math (identificado con Plantilla:Math por la elección de un sistema de referencia). Además:

• El sistema pfaffiano Plantilla:Math (para todos los Plantilla:Mvar) es integrable, y sus variedades integrales son las fibras del haz principal Plantilla:Math.
• El sistema pfaffiano Plantilla:Math (para todos los Plantilla:Math) también es integrable, y sus variedades integrales definen el transporte paralelo en Plantilla:Math.

Así, las formas Plantilla:Math definen una conexión principal plana en Plantilla:Math.

Para una comparación estricta con la motivación, en realidad se debería definir el transporte paralelo en un haz Plantilla:Math principal sobre Plantilla:Mvar. Esto se puede hacer mediante el retroceso Plantilla:Math especificado por la aplicación suave Plantilla:Math definido por traslación. Entonces, la aplicación compuesta Plantilla:Math es un haz principal Plantilla:Math sobre Plantilla:Mvar, y las formas Plantilla:Math regredientes dan una conexión principal plana Plantilla:Math en este haz.

Geometrías afines generales: definiciones formales

Un espacio afín, como ocurre esencialmente con cualquier geometría de Klein suave, es una variedad equipada con una conexión de Cartan plana. Se obtienen fácilmente variedades afines o geometrías afines más generales eliminando la condición de planitud expresada por las ecuaciones de Maurer-Cartan. Hay varias formas de abordar la definición y se darán dos. Ambas definiciones se ven facilitadas por la comprensión de que las 1-formas Plantilla:Math en el modelo plano encajan para dar una 1-forma con valores en el álgebra de Lie Plantilla:Math del grupo afín Plantilla:Math.

En estas definiciones, Plantilla:Mvar es una variedad Plantilla:Mvar suave y Plantilla:Math es un espacio afín de la misma dimensión.

Definición mediante paralelismo absoluto

Sea Plantilla:Mvar una variedad y Plantilla:Mvar un haz principal Plantilla:Math sobre Plantilla:Mvar. Entonces, una conexión afín es una 1-forma Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar con valores en Plantilla:Math que satisfacen las siguientes propiedades

1. Plantilla:Mvar es equivariante con respecto a la acción de Plantilla:Math sobre Plantilla:Mvar y Plantilla:Math
2. Plantilla:Math para todos los Plantilla:Mvar en el álgebra de Lie Plantilla:Math de todas las matrices Plantilla:Math
3. Plantilla:Mvar es un isomorfismo lineal de cada espacio tangente de Plantilla:Mvar con Plantilla:Math

La última condición significa que Plantilla:Mvar es un paralelismo absoluto en Plantilla:Mvar, es decir, identifica el haz tangente de Plantilla:Mvar con un haz trivial (en este caso Plantilla:Math). El par Plantilla:Math define la estructura de una geometría afín en Plantilla:Mvar, convirtiéndola en una variedad afín.

El álgebra de Lie afín Plantilla:Math se divide como un producto semidirecto de Plantilla:Math y Plantilla:Math, por lo que Plantilla:Mvar puede escribirse como un par Plantilla:Math donde Plantilla:Mvar toma valores en Plantilla:Math y Plantilla:Mvar toma valores en Plantilla:Math. Las condiciones 1 y 2 son equivalentes a que Plantilla:Mvar sea una conexión principal Plantilla:Math y Plantilla:Mvar sea una 1-forma equivariante horizontal, lo que induce un homorfismo de haz de Plantilla:Math al fibrado asociado Plantilla:Math. La condición 3 es equivalente al hecho de que este homomorfismo de haz es un isomorfismo (aunque esta descomposición es una consecuencia de la estructura bastante especial del grupo afín). Dado que Plantilla:Mvar es el haz de sistemas de referencia de Plantilla:Math, se deduce que Plantilla:Mvar proporciona un isomorfismo de haz entre Plantilla:Mvar y el paquete de sistemas de referencia Plantilla:Math de Plantilla:Mvar; esto recupera la definición de una conexión afín como la conexión principal Plantilla:Math en Plantilla:Math.

Las 1-formas que surgen en el modelo plano son solo las componentes de Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar.

Definición como conexión afín principal

Una conexión afín sobre Plantilla:Mvar es un haz principal Plantilla:Math Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar, junto con un subhaz principal Plantilla:Math Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar y una conexión principal Plantilla:Math Plantilla:Mvar (una 1-forma en Plantilla:Mvar con valores en Plantilla:Math) que satisface la siguiente condición de Cartan (genérica). El componente Plantilla:Math del retroceso de Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar es una 1-forma equivariante horizontal y, por lo tanto, define un homomorfismo de haz de Plantilla:Math a Plantilla:Math, que se requiere que sea un isomorfismo.

Relación con la motivación

Dado que Plantilla:Math actúa sobre Plantilla:Mvar, hay asociado al haz principal Plantilla:Mvar, un haz Plantilla:Math, que es un haz de fibras sobre Plantilla:Mvar cuya fibra en Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar es un espacio afín Plantilla:Math. Una sección Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar (que define un punto marcado Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar para cada Plantilla:Mvar) determina un subpaquete principal Plantilla:Math Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar (como el conjunto de estabilizadores de estos puntos marcados) y viceversa. La conexión principal Plantilla:Mvar define una conexión de Ehresmann en este haz, de ahí la noción de transporte paralelo. La condición de Cartan asegura que la sección distinguida Plantilla:Mvar siempre se mueva bajo transporte paralelo.

Otras propiedades

Curvatura y torsión

La curvatura y la torsión son las principales invariantes de una conexión afín. Así como hay muchas formas equivalentes de definir la noción de conexión afín, también hay muchas formas diferentes de definir curvatura y torsión.

Desde el punto de vista de la conexión de Cartan, la curvatura es el fallo de la conexión afín Plantilla:Mvar para satisfacer la ecuación de Maurer-Cartan

$\mathrm{d}\eta +\frac{1}{2}[\eta \wedge \eta ]=0,$

donde el segundo término en el lado izquierdo de la ecuación es el producto exterior usando el corchete de Lie en Plantilla:Math para contraer los valores. Al expandir Plantilla:Mvar en el par Plantilla:Math y usar la estructura del álgebra de Lie Plantilla:Math, este lado izquierdo se puede expandir en las dos fórmulas

$\mathrm{d}\theta +\omega \wedge \theta \text{and}\mathrm{d}\omega +\omega \wedge \omega ,$

donde los productos de la cuña se evalúan mediante la multiplicación de matrices. La primera expresión se llama torsión de la conexión y la segunda también se llama curvatura.

Estas expresiones son 2-formas diferenciales en el espacio total de un haz de sistemas de referencia. Sin embargo, son horizontales y equivariantes y, por lo tanto, definen objetos tensoriales. Estos se pueden definir directamente a partir de la derivada covariante inducida Plantilla:Math en Plantilla:Math de la siguiente manera.

La torsión viene dada por la fórmula

$T^{\mathrm{\nabla }}(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y].$

Si la torsión desaparece, se dice que la conexión está libre de torsión o que es simétrica.

La curvatura viene dada por la fórmula:

$R_{X,Y}^{\mathrm{\nabla }}Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z.$

Téngase en cuenta que Plantilla:Math es el corchete de Lie

$[X,Y]=(X^j{\partial }_j{Y}^i-Y^j{\partial }_j{X}^i){\partial }_i$

según el convenio de suma de Einstein. Esto es independiente de la elección del sistema de coordenadas y

${\partial }_i={\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }^i}\right)}_p,$

es el vector tangente en el punto Plantilla:Mvar del Plantilla:Mvarº sistema de coordenadas. Los Plantilla:Math son una base natural para el espacio tangente en el punto Plantilla:Mvar, y los Plantilla:Mvar son las coordenadas correspondientes para el campo vectorial Plantilla:Math.

Cuando tanto la curvatura como la torsión desaparecen, la conexión define una estructura de álgebra pre de Lie en el espacio de las secciones globales del haz tangente.

Conexión de Levi-Civita

Si Plantilla:Math es una variedad de Riemann, entonces existe una conexión afín única Plantilla:Math en Plantilla:Mvar con las dos propiedades siguientes:

• La conexión está libre de torsión, es decir, Plantilla:Math es cero, por lo que Plantilla:Math
• El transporte paralelo es una isometría, es decir, se conservan los productos internos (definidos usando Plantilla:Mvar) entre vectores tangentes.

Esta conexión se llama conexión de Levi-Civita.

A menudo se utiliza el término simétrico en lugar de libre de torsión para la primera propiedad. La segunda condición significa que la conexión es una conexión métrica en el sentido de que la métrica de Riemann Plantilla:Mvar es paralela: Plantilla:Math. Para una conexión libre de torsión, la condición es equivalente a la identidad Plantilla:Math = Plantilla:Math + Plantilla:Math, condición de compatibilidad con la métrica. En coordenadas locales, las componentes de la forma se denominan símbolos de Christoffel: debido a la singularidad de la conexión de Levi-Civita, existe una fórmula para estas componentes en términos de las componentes de Plantilla:Mvar.

Geodésicas

Dado que las líneas rectas son un concepto en geometría afín, las conexiones afines definen una noción generalizada de líneas rectas (parametrizadas) en cualquier variedad afín, llamadas geodésicas afines. En resumen, una curva paramétrica Plantilla:Math es una línea recta si su vector tangente permanece paralelo y equipolente consigo mismo cuando se transporta en Plantilla:Mvar. Desde el punto de vista lineal, una conexión afín Plantilla:Mvar distingue las geodésicas afines de la siguiente manera: una curva suave Plantilla:Math es una geodésica afín si $\dot{\gamma }$ se transporta paralelamente en Plantilla:Mvar, es decir

${\tau }_t^s\dot{\gamma }(s)=\dot{\gamma }(t)$

donde Plantilla:Math es la aplicación de transporte paralelo que define la conexión.

En términos de la conexión infinitesimal Plantilla:Math, la derivada de esta ecuación implica que

${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)=0$

para todos los Plantilla:Math.

Por el contrario, cualquier solución de esta ecuación diferencial produce una curva cuyo vector tangente se transporta paralelo en la curva. Para cada Plantilla:Math y cada Plantilla:Math, existe una Plantilla:Math geodésica afín única con Plantilla:Math y Plantilla:Math y donde Plantilla:Mvar es el intervalo abierto máximo en Plantilla:Math, que contiene 0, en el que se define la geodésica. Esto se deduce del teorema de Picard-Lindelöf y permite la definición de una aplicación exponencial asociada a la conexión afín.

En particular, cuando Plantilla:Mvar es una (pseudo-)variedad de Riemann y Plantilla:Math es la conexión de Levi-Civita, entonces las geodésicas afines son las líneas geodésicas habituales de la geometría de Riemann y son las curvas que minimizan la distancia localmente.

Las geodésicas definidas aquí a veces se denominan parametrizadas afines, ya que una línea recta dada en Plantilla:Mvar determina una curva paramétrica Plantilla:Mvar a través de la línea hasta una elección de reparametrización afín Plantilla:Math, donde Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son constantes. El vector tangente a una geodésica afín es paralelo y equipolente consigo mismo. Una geodésica no parametrizada, o una que es simplemente paralela a sí misma sin ser necesariamente equipolente, solo necesita satisfacer que

${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=k\dot{\gamma }$

para alguna función Plantilla:Mvar definida en Plantilla:Mvar. Las geodésicas no parametrizadas a menudo se estudian desde el punto de vista de la conexión proyectiva.

Desarrollo

Una conexión afín define una noción de desarrollo de curvas. Intuitivamente, el desarrollo capta la noción de que si Plantilla:Mvar es una curva en Plantilla:Mvar, entonces el espacio tangente afín en Plantilla:Math puede hacerse rodar en la curva. Al hacerlo, el punto de contacto marcado entre el espacio tangente y la variedad traza una curva Plantilla:Mvar en este espacio afín: el desarrollo de Plantilla:Mvar.

En términos formales, sea Plantilla:Math la aplicación de transporte lineal paralelo asociado a la conexión afín. Entonces, el desarrollo Plantilla:Mvar es la curva en Plantilla:Math que comienza en 0 y es paralela a la tangente de Plantilla:Mvar durante todo el tiempo Plantilla:Mvar:

${\dot{C}}_t={\tau }_t^0{\dot{x}}_t,C_0=0.$

En particular, Plantilla:Mvar es una geodésica si y solo si su desarrollo es una línea recta afínmente parametrizada en Plantilla:Math.

Teoría de superficies revisada

Si Plantilla:Mvar es una superficie en Plantilla:Math, es fácil ver que Plantilla:Mvar tiene una conexión afín natural. Desde el punto de vista de la conexión lineal, la derivada covariante de un campo vectorial se define diferenciando el campo vectorial, visto como una aplicación de Plantilla:Mvar a Plantilla:Math, y luego proyectando el resultado ortogonalmente nuevamente sobre los espacios tangentes de Plantilla:Mvar. Es fácil ver que esta conexión afín no tiene torsión. Además, es una conexión métrica con respecto a la métrica de Riemann en Plantilla:Mvar inducida por el producto interno en Plantilla:Math, por lo que es la conexión de Levi-Civita de esta métrica.

Ejemplo: la esfera unitaria en el espacio euclídeo

Sea Plantilla:Math el producto escalar habitual en Plantilla:Math y sea Plantilla:Math la esfera unitaria. El espacio tangente a Plantilla:Math en un punto Plantilla:Mvar se identifica naturalmente con el subespacio vectorial de Plantilla:Math que consta de todos los vectores ortogonales a Plantilla:Mvar. De ello se deduce que un campo vectorial Plantilla:Mvar en Plantilla:Math puede verse como una aplicación Plantilla:Math que satisface

$⟨Y_x,x⟩=0,\mathrm{\forall }x\in {𝐒}^2.$

Denótese como Plantilla:Math el diferencial (matriz jacobiana) de dicha aplicación. Entonces, se tiene que

''Lema. La fórmula

$({\mathrm{\nabla }}_{Z}Y{)}_x=\mathrm{d}{Y}_x(Z_x)+⟨Z_x,Y_x⟩x$

define una conexión afín en Plantilla:Math con torsión tendente a cero.

Demostración. Es sencillo demostrar que Plantilla:Math satisface la identidad de Leibniz y es Plantilla:Math lineal en la primera variable. Entonces, todo lo que hay que demostrar aquí es que la aplicación anterior efectivamente define un campo vectorial tangente. Es decir, se necesita demostrar que para todo Plantilla:Mvar en Plantilla:Math

$⟨({\mathrm{\nabla }}_{Z}Y{)}_x,x⟩=0.\text{(Eq.1)}$

Considérese la aplicación

$\begin{array}{cc}f:{𝐒}^2& \to 𝐑\\ x& \mapsto ⟨Y_x,x⟩.\end{array}$

La aplicación f es constante, por lo tanto su diferencial desaparece. En particular

$\mathrm{d}{f}_x(Z_x)=⟨(\mathrm{d}Y{)}_x(Z_x),x({\gamma }^{\prime }(t))⟩+⟨Y_x,Z_x⟩=0.$

A continuación se presenta la ecuación 1 anterior. Quod erat demonstrandum

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cite book

Lecturas recomendadas

Principales referencias históricas

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation

El tratamiento de Cartan de las conexiones afines motivado por el estudio de la teoría de la relatividad. Incluye una discusión detallada de la física de los marcos de referencia y cómo la conexión refleja la noción física de transporte en un línea de universo.

• Plantilla:Citation

Una explicación más motivada matemáticamente de las conexiones afines.

• Plantilla:Citation.

Conexiones afines desde el punto de vista de Geometría de Riemann. Los apéndices de Robert Hermann discuten la motivación de la teoría de superficies, así como la noción de conexiones afines en el sentido moderno de Koszul. Desarrolla las propiedades básicas del operador diferencial ∇ y las relaciona con las conexiones afines clásicas en el sentido de Cartan.

• Plantilla:Citation

Referencias secundarias

• Plantilla:Citation.

Esta es la referencia principal para los detalles técnicos del artículo. El volumen 1, capítulo III ofrece una descripción detallada de las conexiones afines desde la perspectiva de los paquetes principales en una variedad, transporte paralelo, desarrollo, geodésicas y operadores diferenciales asociados. El volumen 1, capítulo VI, da cuenta de las transformaciones afines, la torsión y la teoría general de la geodesia afín. El volumen 2 ofrece una serie de aplicaciones de conexiones afines a espacio homogéneo y variedad compleja, así como a otros temas variados.

• Plantilla:Springer.
• Plantilla:Springer.

Dos artículos de Lumiste, que dan condiciones precisas sobre aplicaciones de transporte paralelo para que definan conexiones afines. También tratan la curvatura, la torsión y otros temas estándar desde una perspectiva clásica (paquete no principal).

• Plantilla:Citation.

Esto completa algunos de los detalles históricos y proporciona un relato elemental más fácil de leer sobre las conexiones de Cartan en general. El Apéndice A aclara la relación entre los puntos de vista de la conexión principal y el paralelismo absoluto. El Apéndice B cierra la brecha entre el modelo clásico "rodante" de conexiones afines y el moderno basado en paquetes principales y operadores diferenciales.