Ángulo inscrito

En geometría, un ángulo inscrito está formado por dos cuerdas y su vértice está sobre la circunferencia. Su valor es la mitad del ángulo central correspondiente.

Propiedades

Mientras que un ángulo central tiene una amplitud $\beta$ igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior, $\beta /2$.

Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas $a$, $b$ se intersecan en el interior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo $a_1\cdot a_2=b_1\cdot b_2$.

Demostración

Para demostrar que la propiedad descrita antes es cierta siempre, demostraremos por separado que lo es cuando una cuerda es el diámetro, cuando el centro del círculo está en el interior del ángulo y cuando el centro del círculo está en el exterior del ángulo. De esta manera quedará demostrado para cualquier caso.

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Una cuerda es el diámetro

Sea $O$ el centro de una circunferencia. Además, consideremos $A$ y $V$ dos puntos en la circunferencia, y $B$ el otro extremo de la cuerda que pasa por $V$ y $O$. $\beta$ es la amplitud del arco comprendido entre las secantes $\overline{VA}$ y $\overline{VB}$, y $\alpha$ su ángulo inscrito.

El ángulo central $\mathrm{\angle }AOB$, también tiene amplitud $\beta$ y es suplementario de $\mathrm{\angle }AOV$. Por lo tanto $\beta +\mathrm{\angle }AOV=180$°.

Como el triángulo $\mathrm{△}AOV$ tiene dos lados con longitud igual al radio ($\overline{AO}$ y $\overline{VO}$), es isósceles y, por lo tanto $\mathrm{\angle }OAV=\alpha$. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que $2\alpha +\mathrm{\angle }AOV=180$, pero $\mathrm{\angle }AOV=180-\beta$, así que $2\alpha +180-\beta =180$, o lo que es equivalente, $2\alpha =\beta$.

Por lo tanto, el ángulo inscrito $\alpha$ tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior $\beta$, $\alpha =\frac{\beta }{2}$.

Ángulos inscritos con el centro de la circunferencia en su interior

Centro del círculo dentro del ángulo

Sea $O$ el centro de una circunferencia. Consideremos tres puntos $V$, $A$ y $B$ en la circunferencia. Dibujamos las cuerdas $\overline{VB}$ y $\overline{VA}$. El ángulo $\mathrm{\angle }AVB$ es un ángulo inscrito. Dibujamos el segmento $\overline{VO}$ y lo alargamos hasta que interseque la circunferencia en el punto $C$. El ángulo $\mathrm{\angle }AVB$ subtiende el arco $AB$.

Supongamos que el centro de la circunferencia $O$ está dentro del ángulo $\mathrm{\angle }AVB$. Por lo tanto el arco $AB$ incluye el punto $C$, ya que $C$ es el punto diamentralmente opuesto a $V$. Los ángulos $\mathrm{\angle }AVC$ y $\mathrm{\angle }CVB$ también son ángulos inscritos, pero cada uno de estos ángulos tiene un lado que pasa por el centro y, por lo tanto, podemos aplicar la conclusión del apartado anterior a ambos.

Entonces,

$\mathrm{\angle }AVB=\mathrm{\angle }AVC+\mathrm{\angle }CVB$

Definimos entonces $\alpha =\mathrm{\angle }AVB$, ${\alpha }_1=\mathrm{\angle }AVC$ y ${\alpha }_2=\mathrm{\angle }CVB$, de manera que

$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2$. (1)

Dibujamos los segmentos $\overline{OA}$ y $\overline{OB}$. El ángulo $\mathrm{\angle }AOB$ es un ángulo central, como también lo son los ángulos $\mathrm{\angle }AOC$ y $\mathrm{\angle }COB$. Entre estos tres ángulos tenemos la relación

$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }AOC+\mathrm{\angle }COB$

Definimos $\beta =\mathrm{\angle }AOB$, ${\beta }_1=\mathrm{\angle }AOC$ y ${\beta }_2=\mathrm{\angle }COB$, de manera que

$\beta ={\beta }_1+{\beta }_2$. (2)

Por la demostración cuando una cuerda es el diámetro tenemos que ${\beta }_1=2{\alpha }_1$ y ${\beta }_2=2{\alpha }_2$. Combinando estos resultados con la ecuación (2) tenemos que

$\beta =2{\alpha }_1+2{\alpha }_2=2({\alpha }_1+{\alpha }_2)$.

Y, por la ecuación (1), obtenemos que

$\beta =2\alpha$

y, por lo tanto,

$\alpha =\frac{\beta }{2}$.

Ángulos inscritos con el centro de la circunferencia en su exterior

Centro del círculo fuera del ángulo

Sea $O$ el centro de una circunferencia. Consideremos tres puntos $V$, $A$ y $B$ en la circunferencia. Dibujamos las cuerdas $\overline{VB}$ y $\overline{VA}$. El ángulo $\mathrm{\angle }AVB$ es un ángulo inscrito. Dibujamos el segmento $\overline{VO}$ y lo alargamos hasta que interseque la circunferencia en el punto $C$. El ángulo $\mathrm{\angle }AVB$ subtiende el arco $AB$.

Supongamos que el centro de la circunferencia $O$ está fuera del ángulo $\mathrm{\angle }AVB$. Por lo tanto el arco $AB$ no incluye el punto $C$, ya que $C$ es el punto diamentralmente opuesto a $V$. Los ángulos $\mathrm{\angle }AVC$ y $\mathrm{\angle }CVB$ también son ángulos inscritos, pero cada uno de estos ángulos tiene un lado que pasa por el centro y, por lo tanto, podemos aplicar la conclusión del primer apartado a ambos.

Entonces,

$\mathrm{\angle }AVB=\mathrm{\angle }CVB-\mathrm{\angle }AVC$

Definimos entonces $\alpha =\mathrm{\angle }AVB$, ${\alpha }_1=\mathrm{\angle }CVB$ y ${\alpha }_2=\mathrm{\angle }AVC$ tal que

$\alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_2$. (3)

Dibujamos los segmentos $\overline{OA}$ y $\overline{OB}$. El ángulo $\mathrm{\angle }AOB$ es un ángulo central, como también lo son los ángulos $\mathrm{\angle }AOC$ y $\mathrm{\angle }COB$. Entre estos tres ángulos tenemos la relación

$\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }COB-\mathrm{\angle }AOC$.

Definimos $\beta =\mathrm{\angle }AOB$, ${\beta }_1=\mathrm{\angle }COB$ y ${\beta }_2=\mathrm{\angle }AOC$, de manera que

$\beta ={\beta }_1-{\beta }_2$. (4)

Por la demostración cuando una cuerda es el diámetro tenemos que ${\beta }_1=2{\alpha }_1$ y ${\beta }_2=2{\alpha }_2$. Combinando estos resultados con la ecuación (4) tenemos que

$\beta =2{\alpha }_1-2{\alpha }_2=2({\alpha }_1-{\alpha }_2)$.

Y, por la ecuación (3), obtenemos que

$\beta =2\alpha$

y, por lo tanto,

$\alpha =\frac{\beta }{2}$.

Véase también

• Ángulo interior
• Ángulo exterior a una circunferencia
• Arco capaz

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Munching on Inscribed Angles en cut-the-knot
• Arc Central Angle Con animación interactiva
• Arc Peripheral (inscribed) Angle Con animación interactiva
• Arc Central Angle Theorem Con animación interactiva