*-álgebra

En matemáticas, más específicamente en álgebra abstracta, un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos $R$ y $A$, donde $R$ es conmutativo y $A$ tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre $R$. Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja, matrices sobre los números complejos y la conjugada traspuesta, y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y el Operador adjunto. Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna involución en absoluto.

Definición

*-Anillo

Un *-anillo es un anillo con una función ${*}^{}:A\to A$, el cual es un antiautomorphism y una involución. De una forma más precisa, dados $x,y\in A$ se cumplen las condiciones

1. Linealidad: $(x+y{)}^{*}=x^{*}+y^{*}$.
2. Contravariante: $(xy{)}^{*}=y^{*}{x}^{*}$.
3. Idempotencia: $x^{**}=(x^{*}{)}^{*}=x$.

Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución. Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos $1_A$, entonces $1_A=1_A^{*}$.

Elementos tales que $x^{*}=x$ son llamados auto-adjuntos.

También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos, con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si $I$ es un ideal y $x\in I$ entonces si $x^{*}\in I$ diremos que $I$ es un *-ideal.

*-Álgebra

Una *-álgebra $A$ es un *-anillo, con una involución * que es una álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo $R$ con involución ${\prime }^{}$, tal que $(rx{)}^{*}=r^{\prime }{x}^{*}$ para todo $r\in R$ y $x\in A$. A menudo el anillo $R$ corresponde a los números complejos (con ${\prime }^{}$ como conjugación compleja).

Sigue de los axiomas que * en $A$ es antilineal en $R$, es decir,

$(\lambda x+\mu y{)}^{*}=\bar{\lambda }{x}^{*}+\bar{\mu }{y}^{*}$ para todo $x,y\in A\text{ y }\lambda ,\mu \in R.$

Un *-homomorfismo $\phi :A\to B$ es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de $A$ y $B$ , es decir, $\phi (x^{{*}_A})=\phi (x{)}^{{*}_B}$ para todo $x\in A$ (donde ${{*}_A}^{}$ y ${{*}_B}^{}$ son las involuciones de $A$ y $B$ respectivamente).

Ejemplos

• Cualquier anillo conmutativo es un *-anillo con la involución trivial ($x^{*}=x$ para todo $x\in A$).
• El ejemplo más familiar de un *-anillo y una *-álgebra sobre los reales $ℝ$, es el cuerpo de los números complejos $ℂ$ dónde * es la conjugación compleja.
• Una extensión de cuerpos hecha al adjuntar una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria $i=\sqrt{-1}$) es una *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial (involucón trivial). La involución * corresponde al cambio de signo de aquella raíz cuadrada.
• Cuaterniones, números complejos hiperbólicos y números duales. Note que ninguno de estos ejemplos es una álgebra compleja.
• Los cuaterniones de Hurwitz forman un *-anillo conmutativo.
• El álgebra de matrices ${ℳ}_{n\times n}(ℝ)$, donde * corresponde a la transposición.
• El álgebra de matrices ${ℳ}_{n\times n}(ℂ)$, donde * corresponde a la traspuesta conjugada.
• En el álgebra de los operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$, la operación * corresponde al operador adjunto.

Álgebras sin involución

No toda álgebra admite una involución (no trivial). Considerando las matrices 2×2 sobre los números complejos ${ℳ}_{2\times 2}(ℂ)$,podemos tomar la siguiente subalgebra:

$$𝒜:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right):a,b\in ℂ\}.$$

Cualquier antiautomorfismo no trivial ${\phi }_z:𝒜\to 𝒜$ necesariamente tiene la forma:

$${\phi }_z\left[\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{cc}1& z\\ 0& 0\end{array}\right){\phi }_z\left[\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$$

para cualquier número complejo $z\in ℂ$. Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es, ${\phi }_z\circ {\phi }_z={\phi }_z$):

$${\phi }_z^2\left[\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$

de este modo concluimos que $𝒜$ no admite involución alguna.

Véase también

• C*-álgebra
• Álgebra de von Neumann
• Álgebra de operadores
• Conjugación (Álgebra)
• Construcción de Cayley-Dickson