Algoritmo de Borwein

El algoritmo de Borwein es un algoritmo desarrollado por Jonathan y Peter Borwein que permite el cálculo de 1/π.

Algoritmo

Se procede de la siguiente forma:

• Se comienza con los valores

  $a_0=6-4\sqrt{2}$

  $y_0=\sqrt{2}-1$

• Después se itera con las siguientes fórmulas

  $y_{k+1}=\frac{1-(1-y_k^4{)}^{1/4}}{1+(1-y_k^4{)}^{1/4}}$

  $a_{k+1}=a_k(1+y_{k+1}{)}^4-2^{2k+3}{y}_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^2)$

Se tiene que a_k posee una convergencia cuártica 1/π; es decir, en cada iteración se multiplica por cuatro, aproximadamente, el número de dígitos correcto.

El grado de convergencia se obtiene de la siguiente desigualdad:

$|\frac{1}{\pi }-a_n|<=16(4^n)(e^{-2\pi 4^n})$

Véase también

• Algoritmo de Gauss-Legendre
• Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld