Algoritmo de Gauss-Legendre

Plantilla:Referencias El algoritmo de Gauss-Legendre es un algoritmo para computar los dígitos de π.

El método se basa en los trabajos individuales de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833) combinados con algoritmos modernos para la multiplicación y la raíz cuadrada. Sustituye repetidamente dos números por sus medias aritmética y geométrica, para obtener una aproximación a su media aritmético-geométrica.

La versión que se presenta aquí se conoce también como el algoritmo de Brent-Salamin (o Salamin-Brent); que fue descubierto en 1975 y de forma independiente por Richard Brent y Eugene Salamin. Se usó entre el 18 y el 20 de septiembre de 1999 para calcular los primeros 206.158.430.000 dígitos decimales de π, y el resultado se comprobó usando el algoritmo de Borwein.

Algoritmo

1. Establecimiento del valor inicial:

$a_0=1b_0=\frac{1}{\sqrt{2}}{t}_0=\frac{1}{4}{p}_0=1$

2. Repetir las siguientes instrucciones hasta que la diferencia entre $a_n$ y $b_n$ se encuentre dentro de la precisión deseada:

$x_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$

$y_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}$

$t_{n+1}=t_n-p_n(a_n-x_{n+1}{)}^2$

$a_{n+1}=x_{n+1}$

$b_{n+1}=y_{n+1}$

$p_{n+1}=2p_n$

3. π se aproxima usando $a_n$, $b_n$ y $t_n$ como:

$\pi \approx \frac{(a_n+b_n{)}^2}{4t_n}$

Las primeras tres iteraciones dan:

$3.140...$

$3.14159264...$

$3.14159265358979...$

El algoritmo tiene naturaleza convergente de segundo orden, que esencialmente significa que el número de dígitos correctos se duplica con cada paso del algoritmo.

Véase también

• Algoritmo de Borwein
• Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld