Anexo:Derivadas

La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con respecto a x. Se presupone al conjunto de los números reales. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental.

Reglas generales de diferenciación

Linealidad

$\left(f+g\right)=f^{\prime }+g^{\prime }$

$\left(f-g\right)=f^{\prime }-g^{\prime }$

$\left(cf\right)=c{f}^{\prime }$

Regla del producto

$\left(fg\right)=f^{\prime }.g+f.g^{\prime }$

Regla del cociente

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }.g-f.g^{\prime }}{g^2},g\ne 0$

Caso particular

$\left(\frac{1}{f}\right)=\frac{-f^{\prime }}{f^2},f\ne 0$

Regla de la cadena

$(f\circ g{)}^{\prime }=f^{\prime }(g)g^{\prime }$

Derivadas de funciones simples

$\frac{d}{dx}k=0$

$\frac{d}{dx}x=1$

$\frac{d}{dx}(cx)=c$

$\frac{d}{dx}{x}^c=c{x}^{c-1}\text{donde }{x}^c\text{ y }c{x}^{c-1}\text{ se encuentran definidos}$

$\frac{d}{dx}(c{x}^n)=cn{x}^{n-1}$

$\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^c}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-c}\right)=-c{x}^{-c-1}=-\frac{c}{x^{c+1}}$

$\frac{d}{dx}(\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\text{sea }x>0$

$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},x>0$

$\frac{d}{dx}f(x{)}^n=nf(x{)}^{n-1}\cdot \frac{d}{dx}f(x)$

Derivada de la función inversa

$(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$,

para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.

Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

$\frac{d}{dx}{c}^x=c^x\ln c,c>0$

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x\frac{d}{dx}(x)$

$\frac{d}{dx}{\log }_{c}x=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1$

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},x>0$

$\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}{x}^x=x^x(1+\ln x)$

$(f^g{)}^{\prime }=f^g(g^{\prime }\ln f+\frac{g}{f}{f}^{\prime })$

Derivada de la función potencial exponencial

$\frac{d}{dx}f(x{)}^{g(x)}=f(x{)}^{g(x)}(\frac{d}{dx}f(x)\cdot \frac{g(x)}{f(x)}+\frac{d}{dx}g(x)\cdot \ln f(x)),f(x)>0$

Derivadas de funciones trigonométricas

$\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$

$\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$

$\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x=\frac{-1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsen}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arccos x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x=\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x=\frac{-1}{1+x^2}$

Derivadas trigonométricas cíclicas (Criterios de la primera, segunda y tercera derivadas)

$\frac{d}{dx}\mathrm{sen}x=\cos x$

$\frac{d}{dx}\cos x=-\mathrm{sen}x$

$\frac{d}{dx}-\mathrm{sen}x=-\cos x$

$\frac{d}{dx}-\cos x=\mathrm{sen}x$

Derivadas de funciones hiperbólicas

$\frac{d}{dx}\mathrm{senh}x=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\mathrm{senh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$\frac{d}{dx}\tanh x={\mathrm{sech}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{sech}x=-\tanh x\mathrm{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{csch}x=-\coth x\mathrm{csch}x$

$\frac{d}{dx}\coth x=-{\mathrm{csch}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{argsenh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{argcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{argtanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{argsech}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{argcsch}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{argcoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

Derivadas de funciones especiales

Función zeta de Riemann

$(\zeta (x){)}^{\prime }=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots$

$(\zeta (x){)}^{\prime }=-\sum _{p\text{primo}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{primo},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}$

Derivadas de distribuciones

$H^{\prime }(x-a)=\delta (x-a)$ (Función unitaria de Heaviside y Delta de Dirac)

${\text{ramp}}^{\prime }(x)=H(x)$ (Función rampa y función unitaria de Heaviside)

$|x{|}^{\prime }=\text{sgn}(x)$ (Valor absoluto y función signo)

Funciones elípticas

Las derivadas de la funciones elípticas de Jacobi son: Plantilla:Ecuación

Derivadas de funciones definidas como integral

La fórmula de Leibniz para diferenciación de integrales establece que: Plantilla:Ecuación

Referencias

Bibliografía

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.