Anexo:Series matemáticas

Esta lista de series matemáticas contiene fórmulas para sumatorias finitas e infinitas. Puede ser usada junto con otras herramientas para evaluar sumas.

Sumatoria de potencias

• $\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1{)}^3-n^3-1}{6}$
• $\sum _{i=p}^{q}i=p+(p+1)+(p+2)+(p+3)+\dots +(q-1)+q=\frac{(p+q)(q-p+1)}{2}$

• $\sum _{i=1}^{n}2i=2+4+6+8+10+12+14+16+\dots +(2n-2)+2n=n(n+1)$

• $\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}={\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]}^2$ (véase: Cuadrados de números triangulares)
• $\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^5=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^2+2n-1)}{12}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^7=\frac{n^2(n+1{)}^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^8=\frac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{24}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^9=\frac{n^2(n+1{)}^2(n^2+n-1)(2n^4+4n^3-n^2-3n+3)}{20}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^{10}=\frac{n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1)(3n^6+9n^5+2n^4-11n^3+3n^2+10n-5)}{66}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^{11}=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^8+8n^7+4n^6-16n^5-5n^4+26n^3-3n^2-20n+10)}{24}$
• $\sum _{i=1}^n{i}^{12}=\frac{n(n+1)(2n+1)(105n^{10}+525n^9+525n^8-1050n^7-1190n^6+2310n^5+1420n^4-3285n^3-287n^2+2073n-691)}{2730}$
• $\sum _{i=0}^n{i}^s=\frac{(n+1{)}^{s+1}}{s+1}+\sum _{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(n+1{)}^{s-k+1}$

donde $B_k$ es el k-ésimo número de Bernoulli.

• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^{-s}=\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta (s)$

donde s > 1 y $\zeta (s)$ es la función zeta de Riemann.

Series relacionadas con la función zeta de Riemann:

• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi }^2}{6},\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^4}=\frac{{\pi }^4}{90},\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$
• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^{2s}}=\frac{(2^{2s-1}){\pi }^{2s}{B}_s}{(2s)!},s\in {\mathbb{N}}^{*}$ y siendo $B_s$ el s-ésimo número de Bernoulli.
• $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{i+1}}{i^{2s}}=(1-\frac{1}{2^{2s-1}})\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^{2s}}$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2i+1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8},\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2i+1{)}^4}=\frac{{\pi }^4}{96},\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2i+1{)}^6}=\frac{{\pi }^6}{960}$

Otras sumas numéricas son

• $\sum _{i=1}^n(2i-1)=1+3+5+7+9+\dots +(2n-3)+(2n-1)=n^2$
• $\sum _{i=1}^n(2i-1{)}^2=1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+\dots +(2n-3{)}^2+(2n-1{)}^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}$
• $\sum _{i=1}^n(2i-1{)}^3=1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+\dots +(2n-3{)}^3+(2n-1{)}^3=n^2(2n^2-1)$

Serie de potencias

Suma infinita (para $|x|<1$)	Suma finita
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^i=\frac{1}{1-x}$	$\sum _{i=0}^n{x}^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r{)}^n})$ donde $r>0$ , $x=\frac{1}{1+r}.$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}i{x}^i=\frac{x}{(1-x{)}^2}$	$\sum _{i=1}^{n}i{x}^i=x\frac{1-x^n}{(1-x{)}^2}-\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^2{x}^i=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}$	$\sum _{i=1}^n{i}^2{x}^i=\frac{x(1+x-(n+1{)}^2{x}^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2{x}^{n+2})}{(1-x{)}^3}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^3{x}^i=\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x{)}^4}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^4{x}^i=\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x{)}^5}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^k{x}^i={\mathrm{Li}}_{-k}(x),$ donde Lis(x) es el polilogaritmo de x.

Denominadores simples

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}={\log }_e\left(\frac{1}{1-x}\right)\text{ para }|x|\le 1,x=1$

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\arctan (x)$

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\text{ para }|x|<1$

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y}{n^2+y^2}=-\frac{1}{2y}+\frac{\pi }{2}\coth (\pi y)$

Denominadores factoriales

Muchas series de potencias originadas del Teorema de Taylor tienen un coeficiente conteniendo un factorial.

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}=e^x$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}i\frac{x^i}{i!}=x{e}^x$ (c.f. media de la distribución de Poisson)
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^2\frac{x^i}{i!}=(x+x^2)e^x$ (c.f. segundo momento de la distribución de Poisson)
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^3\frac{x^i}{i!}=(x+3x^2+x^3)e^x$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^4\frac{x^i}{i!}=(x+7x^2+6x^3+x^4)e^x$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i+1)!}{x}^{2i+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sin x$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i)!}{x}^{2i}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos x$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\sinh x$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\cosh x$

Denominadores factoriales modificados

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=\arcsin x\text{ para }|x|<1$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i(2i)!}{4^i(i!{)}^2(2i+1)}{x}^{2i+1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\text{ para }|x|<1$

Serie binomial

La serie binomial (incluye la raíz cuadrada para $\alpha =1/2$ y la serie geométrica infinita para $\alpha =-1$):

raíz cuadrada:

• $\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)n{!}^2{4}^n}{x}^n\text{ para }|x|<1$

serie geométrica:

• $(1+x{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n\text{ para }|x|<1$

Forma general:

• $(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\text{ para todo }|x|<1\text{ y todo complejo }\alpha$

con coeficientes binomiales generalizados

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n}{i})x^i=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i})x^i=\frac{1}{2x}(\sqrt{1-4x})$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i})x^i=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i+n}{i})x^i=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}{\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)}^n$

Coeficientes binomiales

• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^n$
• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{(n-i)}{b}^i=(a+b{)}^n$
• $\sum _{i=0}^{2n+1}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{i})=0$
• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$
• $\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n+1}{n})$
• $\sum _{i=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+s}{n})$

Funciones trigonométricas

La sumatoria de senos y cosenos se originan en la serie de Fourier.

• $\sum _{i=1}^n\sin \left(\frac{i\pi }{n}\right)=0$
• $\sum _{i=1}^n\cos \left(\frac{i\pi }{n}\right)=0$

Sin clasificar

• $\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b}{n^2-b^2}=\frac{1}{2}{H}_{2b}$

Para el significado de $H_k$ véase Número armónico.

Véase también

• Serie matemática
• Anexo:Lista de integrales
• Serie de Taylor
• Teorema del binomio
• 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄8 + 1⁄16 + …

Referencias

• Varios libros con lista de integrales tienen también una lista de series.