Coseno

Plantilla:Ficha de función En matemáticas, el coseno es una función par y continua con periodo $2\pi$, además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

En trigonometría, el coseno de un ángulo $\alpha$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

$\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{AC}{AB}$

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo $\alpha .$

Si $B$ pertenece a la circunferencia de radio uno con centro $O=A$ se tiene:

$\cos \alpha =b=AC$

Ya que $c=AB=1$.

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector $\overrightarrow{AB}$ mediante su descomposición en los vectores ortonormales $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{CB}$.

Cálculo por serie de potencias

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real $x$ con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, $x$. Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots$

que en sumatorio sería:

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

En el plano complejo

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

Representación gráfica

Gráfica de la función coseno, con el eje X expresado en radianes.

Relaciones trigonométricas

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada $\frac{\pi }{2}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

$\cos \alpha =\mathrm{sen}(\alpha +\frac{\pi }{2})$

Producto de funciones como suma

$\cos (A)\cos (B)={\cos }^2\left(\frac{A+B}{2}\right)-{\mathrm{sen}}^2\left(\frac{A-B}{2}\right)={\cos }^2\left(\frac{A-B}{2}\right)-{\mathrm{sen}}^2\left(\frac{A+B}{2}\right)$

$\cos (A)\cos (B)=\frac{1}{2}(\cos (A+B)+\cos (A-B))$

Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud

Ángulos en Rad (X)	Ángulos en Grados (X°)	Cos(X)
$\frac{\pi }{6}$	30°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi }{4}$	45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi }{3}$	60°	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi }{2}$	90°	$0$
$\pi$	180°	$-1$
$2\pi$	360°	$1$

Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una función par.

Derivada del coseno

${\cos }^{\prime }x=-\mathrm{sen}x$

Generalizaciones del coseno

• Coseno hiperbólico cosh(x)
• Función elíptica cn(x)

Véase también

• Sinusoide
• Función
• Función par
• Trigonometría
• Funciones trigonométricas

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld

Plantilla:Control de autoridades