Aplicación lineal casi abierta

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una aplicación casi abierta entre espacios topológicos es una función que satisface una condición similar, pero más débil, a la condición de ser una aplicación abierta. Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos, Plantilla:Enf sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.

Definiciones

Dada un aplicación sobreyectiva $f:X\to Y$, un punto $x\in X$ se llama Plantilla:Enf para $f$; y se dice que $f$ es Plantilla:Enf (o Plantilla:Enf) si para cada entorno abierto $U$ de $x$, $f(U)$ es un entorno de $f(x)$) en $Y$ (téngase en cuenta que no es necesario que el entorno $f(U)$ sea Plantilla:Enf).

Un aplicación sobreyectiva se denomina Plantilla:Enf si está abierta en cada punto de su dominio, mientras que se denomina Plantilla:Enf cuando cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura. Explícitamente, se dice que un aplicación sobreyectiva $f:X\to Y$ es Plantilla:Enf abierta si por cada $y\in Y$, existe algún $x\in f^{-1}(y)$ tal que $f$ esté abierto en $x$. Cada sobreyección casi abierta es necesariamente una Plantilla:Enf (concepto introducido por Alexander Arhangelskii en 1963), lo que por definición significa que para cada $y\in Y$ y cada entorno $U$ de $f^{-1}(y)$ (es decir, $f^{-1}(y)\subseteq {\mathrm{Int}}_{X}U$), $f(U)$ es necesariamente un entorno de $y$.

Aplicación lineal casi abierta

Un aplicación lineal $T:X\to Y$ entre dos espacios vectoriales topológicos (EVT) se llama Plantilla:Enf si para cualquier entorno $U$ de $0$ en $X$, el cierre de $T(U)$ en $Y$ es un entorno del origen. Es importante destacar que algunos autores utilizan una definición diferente de "aplicación casi abierta", en la que, en cambio, requieren que la aplicación lineal $T$ satisfaga que: para cualquier vecindad $U$ de $0$ en $X$, el cierre de $T(U)$ en $T(X)$ (en lugar de en $Y$) es un entorno del origen. En este artículo no se utilizará esta definición.Plantilla:Sfn

Si una aplicación lineal $T:X\to Y$ es casi abierta, entonces debido a que $T(X)$ es un subespacio vectorial de $Y$ que contiene un entorno del origen en $Y$, la aplicación $T:X\to Y$ es necesariamente una función sobreyectiva. Por este motivo, muchos autores exigen la sobreyectividad como parte de la definición de "casi abierto".

Si $T:X\to Y$ es un operador lineal biyectivo, entonces $T$ es casi abierto si y solo si $T^{-1}$ es casi continuo.Plantilla:Sfn

Relación con las aplicaciones abiertas

Cada aplicación abierta sobreyectiva es también casi abierta, pero en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyección $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ es un aplicación casi abierta, entonces será abierta si satisface la siguiente condición (una condición que hace que Plantilla:Enf dependa de la topología $\sigma$ de $Y$):

Siempre que $m,n\in X$ pertenezca a la misma fibra de $f$ (es decir, $f(m)=f(n)$), entonces para cada entorno $U\in \tau$ de $m$, existe alguna vecindad $V\in \tau$ de $n$ tal que $F(V)\subseteq F(U)$.

Si la aplicación es continua, entonces la condición anterior también es necesaria para que sea abierta. Es decir, si $f:X\to Y$ es una sobreyección continua, entonces es una aplicación abierta si y solo si es casi abierta y satisface la condición anterior.

Teoremas de aplicación abierta

Teorema:Plantilla:Sfn Si $T:X\to Y$ es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo $X$ a un espacio barrilado $Y$, entonces $T$ es casi abierta.

Teorema:Plantilla:Sfn Si $T:X\to Y$ es un operador lineal sobreyectivo de un EVT $X$ a un espacio de Baire $Y$, entonces $T$ es casi abierto.

Los dos teoremas anteriores Plantilla:Enf requieren que la aplicación lineal sobreyectiva satisfaga Plantilla:Enf.

Teorema:Plantilla:Sfn Si $X$ es un EVT pseudometrizable completo, $Y$ es un EVT de Hausdorff y $T:X\to Y$ es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces $T$ es un aplicación abierta.

Teorema:Plantilla:Sfn Supóngase que $T:X\to Y$ es un operador lineal continuo desde un EVT pseudometrizable completo $X$ a un EVT de Hausdorff $Y$. Si la imagen de $T$ no es exigua en $Y$, entonces $T:X\to Y$ es una aplicación abierta sobreyectiva e $Y$ es un espacio metrizable completo.

Véase también

• Conjunto casi abierto
• Espacio barrilado
• Teorema de la inversa acotada
• Grafo cerrado
• Teorema de la gráfica cerrada
• Conjunto abierto
• Funciones abiertas y cerradas
• Teorema de la función abierta (también conocido como teorema de Banach-Schauder)
• Aplicación casi abierta
• Sobreyección de espacios de Fréchet
• Espacio reticulado

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
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• Plantilla:Cita libro
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• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
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