Teorema de la gráfica cerrada

En matemáticas, el teorema del grafo cerrado puede referirse a uno de varios resultados básicos que caracterizan a las funciones continuas en términos de sus gráficas. Cada uno establece condiciones para que las funciones con grafo cerrado sean necesariamente continuas.

Gráficos cerrados y aplicaciones con grafos cerrados

Si $f:X\to Y$ es una aplicación entre espacios topológicos, entonces el gráfico o grafo de $f$ es el conjunto $\mathrm{Gr}f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ o equivalentemente,

$\mathrm{Gr}f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$

Se dice que la gráfica de $f$ está cerrada si $\mathrm{Gr}f$ es un subconjunto cerrado de $X\times Y$ (con la topología producto).

Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene una gráfica cerrada.

Cualquier mapa lineal, $L:X\to Y,$ entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías sean completas (según el criterio de Cauchy) con respecto a las métricas invariantes de traslación, y si además (1a) $L$ es secuencialmente continua en el sentido de la topología del producto, entonces la aplicación $L$ es continua y su gráfica, Plantilla:Math, es necesariamente cerrada. Por el contrario, si $L$ es una aplicación lineal en la que, en lugar de (1a), se sabe que la gráfica de $L$ (1b) está cerrada en el espacio producto cartesiano $X\times Y$, entonces $L$ es continua y, por lo tanto, necesariamente secuencialmente continua.Plantilla:Sfn

Ejemplos de aplicaciones continuas que no tienen un gráfico cerrado

Si $X$ es un espacio cualquiera, entonces la aplicación identidad $\mathrm{Id}:X\to X$ es continua, pero su gráfica, que es la diagonal $\mathrm{Gr}\mathrm{Id}:=\{(x,x):x\in X\},$, está cerrada en $X\times X$ si y solo si $X$ es de Hausdorff.Plantilla:Sfn En particular, si $X$ no es de Hausdorff, entonces $\mathrm{Id}:X\to X$ es continua pero Plantilla:Enf tiene un gráfico cerrado.

Sea $X$ el conjunto de los números reales $ℝ$ con la topología euclídea habitual, e $Y$ denota $ℝ$ con una topología trivial (donde debe tenerse en cuenta que $Y$ Plantilla:Enf es de Hausdorff, y que cada función valorada en $Y$ es continua). Ahora, considérese que $f:X\to Y$ se define por $f(0)=1$ y $f(x)=0$ para todo $x\ne 0$. Entonces, $f:X\to Y$ es continua, pero su gráfica es Plantilla:Enf está cerrada en $X\times Y$.Plantilla:Sfn

Teorema del grafo cerrado en topología de conjuntos de puntos

En topología general, el teorema del grafo cerrado establece lo siguiente:

Los espacios que no son de Hausdorff rara vez se ven, pero los espacios no compactos son comunes. Un ejemplo de $Y$ no compacto es la recta real, que permite la función discontinua con gráfica cerrada

$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}\text{ si }x\ne 0,\\ 0\text{ en caso contrario }\end{array}$.

En análisis funcional

Si $T:X\to Y$ es un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVSs), entonces se dice que $T$ es un operador cerrado si la gráfica de $T$ está cerrada en $X\times Y$ cuando $X\times Y$ está dotado de la topología del producto.

El teorema del grafo cerrado es un resultado importante en el análisis funcional, que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones. El resultado original se ha generalizado muchas veces. Una versión bien conocida de los teoremas del grafo cerrado es la siguiente:

Véase también

• Aplicación lineal casi abierta
• Espacio barrilado
• Grafo cerrado
• Operador lineal cerrado
• Aplicación lineal discontinua
• Teorema del punto fijo de Kakutani
• Teorema de la función abierta
• Teorema de Ursescu
• Espacio reticulado
• Teorema principal de Zariski

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
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Enlaces externos

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