Aproximación lineal

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Línea tangente en (a, f(a))

En matemáticas, una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

$f(x)=f(a)+f{}^{\prime }(a)(x-a)+o(x)$

donde $o(x)$ es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, $o(x)/x$ tiende a 0 cuando $x$ tiende a $a$). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

$f(x)\approx f(a)+f{}^{\prime }(a)(x-a)$

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Ejemplo

1.Para encontrar la aproximación lineal de $\sqrt[3]{25}$ se hace lo siguiente:

1. Considérese la función $f(x)=x^{1/3}.$
2. Se tiene la derivada:

   $f{}^{\prime }(x)=1/3*x^{-2/3}.$

3. Según lo ya visto,

   $f(25)\approx f(27)+f{}^{\prime }(27)(25-27)=3-2/27.$

4. El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

Véase también

• Linealización