Arcoseno

Plantilla:Ficha de función En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Desde un punto de vista geométrico, el arcoseno de un número $x$, denotado $\arcsin x$ corresponde al arco cuyo seno es $x$.

La función seno no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Al restringir su dominio en $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ se obtiene una función inyectiva y por tanto con función inversa.

Propiedades

• Es una función inyectiva, estrictamente creciente.
• Como arcsen(-x) = -arcsenx, su gráfica es simétrica respecto al origen (0: 0)
• Su valor mínimo = -0.5π; su valor máximo = 0.5π.
• El origen de coordenadas es punto de inflexión con un ángulo de inclinación de 45°
• Es una función continua en todo su dominio.
• El cero de la función es 0. La gráfica corta al eje x en (0; 0)
• Es una función diferenciable, además analítica lo que permite un desarrollo en serie de potencias

Serie de potencias

El desarrollo en serie de potencias del arcoseno viene dado por:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=x+\frac{1}{6}{x}^3+...$

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes. A continuación se da una pequeña demostración de tal desarrollo. Plantilla:Demostración

Extensión a la recta real y los números complejos

Como función analítica el arcoseno puede extenderse a valores fuera del dominio [-1,1] e incluso complejos. Para valores reales del argumento por encima de +1, la función toma valores complejos: Plantilla:Ecuación Para valores menores que -1, se tiene en cuenta que: Plantilla:Ecuación Eso completa la extensión a los números reales, aunque fuera del intervalo [-1,+1] los valores de la función son complejos.

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.

Véase también

• Trigonometría
• Identidad trigonométrica

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld

Plantilla:Control de autoridades