Base dual

Plantilla:Fusionar en En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial. Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V* es isomorfo a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e₁, …, e_n} de V, hay asociada una base dual {e¹,...,eⁿ} de V* con la relación

${{𝐞}^{*}}^i\cdot {𝐞}_j=\{\begin{array}{cc}1\text{,}& \text{si }i=j\\ 0\text{,}& \text{si }i\ne j\end{array}$

Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V* como matrices de fila de 1 × n que actúan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.

También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue

${𝐞}^{*i}\cdot {𝐞}_j={\delta }_j^i$ (también notada como ${\delta }_{ij}$)

Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue

${𝐞}^{*i}\left({𝐞}_j\right)={\delta }_j^i$

Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superíndices como sigue:

$e^{*i}\left(e_j\right)={\delta }_j^i$

Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e, se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas:

$e_1^{*}=\frac{[e_2;e_3]}{(e_1;e_2;e_3)},e_2^{*}=\frac{[e_1;e_3]}{(e_1;e_2;e_3)},e_3^{*}=\frac{[e_1;e_2]}{(e_1;e_2;e_3)}$

Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Encontrar la base dual para un espacio en R³ cuyas bases están dadas por:

$\begin{array}{ccc}{𝐞}_1=\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 6\end{array}\right]& {𝐞}_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\\ -4\end{array}\right]& {𝐞}_3=\left[\begin{array}{c}9\\ -5\\ 7\end{array}\right]\end{array}$

Calculamos la base dual para su espacio dual

${𝐞}^{*1}=\frac{\left|\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& -3& 9\\ x_2& -1& -5\\ x_3& -4& 7\end{array}\right]\right|}{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]\right|}=\frac{-27}{39}{x}_1+\frac{-15}{39}{x}_2+\frac{24}{39}{x}_3=\left(\frac{-27}{39}\text{, }\frac{-15}{39}\text{, }\frac{24}{39}\right)$

${𝐞}^{*2}=\frac{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& x_1& 9\\ -2& x_2& -5\\ 6& x_3& 7\end{array}\right]\right|}{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]\right|}=\frac{-16}{39}{x}_1+\frac{-19}{39}{x}_2+\frac{7}{39}{x}_3=\left(\frac{-16}{39}\text{, }\frac{-19}{39}\text{, }\frac{7}{39}\right)$

${𝐞}^{*3}=\frac{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& x_1\\ -2& -1& x_2\\ 6& -4& x_3\end{array}\right]\right|}{\left|\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]\right|}=\frac{14}{39}{x}_1+\frac{2}{39}{x}_2+\frac{-11}{39}{x}_3=\left(\frac{14}{39}\text{, }\frac{2}{39}\text{, }\frac{-11}{39}\right)$

para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición

${{𝐞}^{*}}^i\cdot {𝐞}_j=\{\begin{array}{cc}1\text{,}& \text{si }i=j\\ 0\text{,}& \text{si }i\ne j\end{array}$

que es equivalente en este caso a

$\left[\begin{array}{ccc}{e^{*}}_1^1& {e^{*}}_2^1& {e^{*}}_3^1\\ {e^{*}}_1^2& {e^{*}}_2^2& {e^{*}}_3^2\\ {e^{*}}_1^3& {e^{*}}_2^3& {e^{*}}_3^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{e}_1^1& e_2^1& e_3^1\\ e_1^2& e_2^2& e_3^2\\ e_1^3& e_2^3& e_3^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

al sustituir se obtiene

$\left[\begin{array}{ccc}-27/39& -15/39& 24/39\\ -16/39& -19/39& 7/39\\ 14/39& 2/39& -11/39\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 9\\ -2& -1& -5\\ 6& -4& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto

Propiedades de la base dual

Efecto en un vector

Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base

$𝐯=\sum _{i=1}^n{v}^i{𝐞}_i$

El resultado de aplicar e^*i en v es el siguiente:

${𝐞}^{*i}\cdot \left(𝐯\right)={𝐞}^{*i}\cdot \left(\sum _{k=1}^n{v}^k\cdot {𝐞}_k\right)=\sum _{k=1}^n{v}^k({𝐞}^{*i}\cdot {𝐞}_k)=\sum _{k=1}^n{v}^k\left({\delta }_k^i\right)$

Y por eso e^*i es la transformación lineal (proyección) que "extrae" de un vector v la componente $v^i$ de su vector de coordenadas respecto a la base.

Coordenadas respecto a la base dual

Hagamos que F sea un elemento genérico de V^*, es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K. Aplicado a un vector

$𝐯=\sum _{i=1}^n{v}^i{𝐞}_i$

Produce la relación:

$F\cdot 𝐯=\sum _{i=1}^n{v}^i(F\cdot {𝐞}_i)$

Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actúa sobre los elementos de la base de V. Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K, por lo que F es definido como n "números":

$f_i=F\cdot {𝐞}_i$

En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de:

$F=\sum _{i=1}^N{f}_i{𝐞}^{*i}$

En efecto esa es la relación:

$F\cdot 𝐯=\left(\sum _{i=1}^n{f}_i{𝐞}^{*i}\right)\cdot 𝐯=\sum _{i=1}^n{f}_i({𝐞}^{*i}\cdot 𝐯)=\sum _{i=1}^n{f}_i{v}^{*i}$

Cada transformación lineal F en V^* puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación eⁱ y por eso:

• (e^*1, ..., e^*n) es efectivamente una base de V^*, que es por lo tanto de dimensión n;
• la f_i es el vector de coordenadas de F con respecto a tal base.

Véase también

• Espacio dual

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld