Delta de Kronecker

En matemáticas, la delta de Kronecker (llamada así en referencia al matemático alemán Leopold Kronecker) es una función de dos variables, generalmente solo números enteros no negativos. La función vale 1 si las dos variables son iguales y 0 en caso contrario:

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }i\ne j,\\ 1& \text{si }i=j.\end{array}$

o con el uso de corchetes de Iverson:

${\delta }_{ij}=[i=j]$

donde la delta de Kronecker Plantilla:Mvar es una función definida a intervalos de las variables Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar. Por ejemplo, Plantilla:Math, mientras que Plantilla:Math.

La delta de Kronecker aparece de forma natural en muchas áreas de las matemáticas, la física y la ingeniería, como un medio para expresar de manera compacta su definición anterior.

En álgebra lineal, la matriz identidad Plantilla:Math de orden Plantilla:Math tiene entradas iguales a la delta de Kronecker:

$I_{ij}={\delta }_{ij}$

donde Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar toman los valores Plantilla:Math, y el espacio prehilbertiano de vectores se puede escribir como

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _{i,j=1}^n{a}_i{\delta }_{ij}{b}_j=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i.$

Aquí los vectores euclídeos se definen como Plantilla:Mvar-tuplas: $𝐚=(a_1,a_2,...,a_n)$ y $𝐛=(b_1,b_2,...,b_n)$ y el último paso se obtiene utilizando los valores de la delta de Kronecker para reducir la suma sobre Plantilla:Mvar.

La restricción a números enteros positivos o no negativos es común, pero de hecho, la delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.

Propiedades

Se satisfacen las siguientes ecuaciones:

$\begin{array}{cc}\sum _j{\delta }_{ij}{a}_j& =a_i,\\ \sum _i{a}_i{\delta }_{ij}& =a_j,\\ \sum _k{\delta }_{ik}{\delta }_{kj}& ={\delta }_{ij}.\end{array}$

Por tanto, la matriz Plantilla:Math puede considerarse como una matriz identidad.

Otra representación útil es la siguiente forma:

${\delta }_{nm}=\frac{1}{N}\sum _{k=1}^N{e}^{2\pi i\frac{k}{N}(n-m)}$

lo que se puede deducir usando la fórmula de una progresión geométrica.

Notación alternativa

Usando el corchete de Iverson:

${\delta }_{ij}=[i=j].$

A menudo, se usa una notación de un solo argumento Plantilla:Mvar, que es equivalente a establecer Plantilla:Math:

${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }i\ne 0\\ 1,& \text{si }i=0\end{array}$

En álgebra lineal, se puede considerar como un tensor y se escribe Plantilla:Mvar. A veces, la delta de Kronecker se denomina tensor de sustitución.

Procesamiento de señales digitales

Función de muestra unitaria

En el estudio del procesamiento digital de señales, la función de muestra unitaria $\delta [n]$ representa un caso especial de una función delta de Kronecker bidimensional ${\delta }_{ij}$, donde los índices de kronecker incluyen el número cero, y donde uno de los índices es cero. En este caso:

$\delta [n]\equiv {\delta }_{n0}\equiv {\delta }_{0n}\text{donde}-\mathrm{\infty }<n<\mathrm{\infty }$

O más generalmente, donde:

$\delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv {\delta }_{nk}\equiv {\delta }_{kn}\text{donde}-\mathrm{\infty }<n<\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }<k<\mathrm{\infty }$

Sin embargo, este es solo un caso muy especial. En el cálculo tensorial, es más común numerar los vectores base en una dimensión particular comenzando con el índice 1, en lugar del índice 0. En este caso, la relación $\delta [n]\equiv {\delta }_{n0}\equiv {\delta }_{0n}$ no existe y, de hecho, la delta de Kronecker y la muestra unitaria son funciones realmente diferentes que por casualidad se superponen en un caso específico, en el que los índices incluyen el número 0, el número de índices es 2 y uno de los índices tiene el valor de cero.

Si bien la función de muestra unitaria discreta y la función delta de Kronecker usan la misma letra, difieren de las siguientes maneras. Para la función de muestra unitaria discreta, es más convencional colocar un único índice entero entre llaves; por el contrario, la delta de Kronecker puede tener cualquier número de índices. Además, el propósito de la función de muestra unitaria discreta es diferente de la función delta de Kronecker. La función de muestra unitaria discreta se usa típicamente como una función de entrada a un sistema discreto para descubrir la función de salida del sistema que se generará. Por el contrario, el propósito típico de la función delta de Kronecker es filtrar los términos de un convenio de suma de Einstein.

La función de muestra de unidad discreta se define más simplemente como:

$\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1& n=0\\ 0& n\text{ es otro entero}\end{array}$

Además, el procesamiento de señales digitales dispone de una función llamada delta de Dirac, que a menudo se confunde tanto con la función delta de Kronecker como con la función de muestra unitaria. La delta de Dirac se define como:

$\delta (t)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& t=0\\ 0& t\text{ es otro real}\end{array}$

A diferencia de la función delta de Kronecker ${\delta }_{ij}$ y la función de muestra unitaria $\delta [n]$, la función delta de Dirac $\delta (t)$ no tiene un índice entero, tiene un único valor continuo no entero t.

Para confundir más las cosas, la función de impulso unitario a veces se usa para referirse a la delta de Dirac $\delta (t)$ o a la función de muestra unitaria $\delta [n]$.

Propiedades de la función delta

la delta de Kronecker tiene la propiedad llamada tamizado que para Plantilla:Math:

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{\delta }_{ij}=a_j.$

y si los números enteros se ven como un espacio de medida, dotados con la medida de conteo, entonces esta propiedad coincide con la propiedad definitoria de la delta de Dirac

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

y de hecho, la delta de Dirac a veces se denomina delta de Kronecker debido a esta propiedad análoga. En el procesamiento de señales, suele ser el contexto (tiempo discreto o continuo) el que distingue las "funciones" de Kronecker y de Dirac. Y por convención, Plantilla:Math generalmente indica tiempo continuo (Dirac), mientras que argumentos como Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar generalmente se reservan para tiempo discreto (Kronecker). Otra práctica común es representar secuencias discretas con corchetes; así: Plantilla:Math. La delta de Kronecker no es el resultado de muestrear directamente la función delta de Dirac.

La delta de Kronecker forma el elemento neutro multiplicativo de un álgebra de incidencia.

Relación con la función delta de Dirac

En teoría de la probabilidad y estadística, la delta de Kronecker y la delta de Dirac se pueden usar para representar una distribución de probabilidad. Si el soporte de una distribución consta de puntos Plantilla:Math, con las probabilidades correspondientes Plantilla:Math, entonces la función de probabilidad Plantilla:Math de la distribución sobre Plantilla:Math se puede escribir, utilizando la delta de Kronecker, como

$p(x)=\sum _{i=1}^n{p}_i{\delta }_{x{x}_i}.$

De manera equivalente, la función de densidad de probabilidad Plantilla:Math de la distribución se puede escribir usando la función delta de Dirac como

$f(x)=\sum _{i=1}^n{p}_i\delta (x-x_i).$

En determinadas condiciones, la delta de Kronecker puede surgir del muestreo de una función delta de Dirac. Por ejemplo, si un impulso delta de Dirac ocurre exactamente en un punto de muestreo e idealmente se filtra en paso bajo (con corte en la frecuencia crítica) según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la señal de tiempo discreto resultante será una función delta de Kronenberg.

Generalizaciones

Si se considera como un tipo de tensor Plantilla:Math, el tensor de Kronecker se puede escribir como Plantilla:Math con un índice covariante Plantilla:Mvar y un índice contravariante Plantilla:Mvar:

${\delta }_j^i=\{\begin{array}{cc}0& (i\ne j),\\ 1& (i=j).\end{array}$

Este tensor representa:

• La aplicación identidad (o matriz de identidad), considerado como la aplicación lineal Plantilla:Math o Plantilla:Math
• La traza o tensor contracción, considerado como una aplicación Plantilla:Math
• La aplicación Plantilla:Math, que representa la multiplicación escalar como una suma de producto externo.

La delta generalizada de Kronecker o delta de Kronecker multi-índice de orden Plantilla:Math es un tensor tipo Plantilla:Math que es completamente antisimétrico en sus índices superiores Plantilla:Mvar, y también en sus índices inferiores Plantilla:Mvar.

Se utilizan dos definiciones que difieren en un factor de Plantilla:Math. A continuación, la versión que se presenta tiene componentes distintos de cero escalados para ser Plantilla:Math. La segunda versión tiene componentes distintos de cero que son Plantilla:Math, con los consiguientes cambios en los factores de escala en las fórmulas, como los factores de escala de Plantilla:Math en propiedades de la delta de Kronecker generalizada que figuran a continuación, desaparecen.

Definiciones de la delta de Kronecker generalizada

En términos de índices, la delta de Kronecker generalizada se define como:

${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{si }{\nu }_1\dots {\nu }_p\text{ son enteros distintos y son una permutación par de }{\mu }_1\dots {\mu }_p\\ -1& \text{si }{\nu }_1\dots {\nu }_p\text{ son enteros distintos y son una permutación impar de }{\mu }_1\dots {\mu }_p\\ 0& \text{en todos los otros casos}.\end{array}$

Sea Plantilla:Math el grupo simétrico de grado Plantilla:Mvar. Entonces:

${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}=\sum _{\sigma \in {\mathrm{S}}_p}\mathrm{sgn}(\sigma ){\delta }_{{\nu }_{\sigma (1)}}^{{\mu }_1}\cdots {\delta }_{{\nu }_{\sigma (p)}}^{{\mu }_p}=\sum _{\sigma \in {\mathrm{S}}_p}\mathrm{sgn}(\sigma ){\delta }_{{\nu }_1}^{{\mu }_{\sigma (1)}}\cdots {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_{\sigma (p)}}.$

Usando antisimetrización:

${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}=p!{\delta }_{[{\nu }_1}^{{\mu }_1}\dots {\delta }_{{\nu }_p]}^{{\mu }_p}=p!{\delta }_{{\nu }_1}^{[{\mu }_1}\dots {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_p]}.$

En términos de un determinante Plantilla:Math:

${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{{\nu }_1}^{{\mu }_1}& \cdots & {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\delta }_{{\nu }_1}^{{\mu }_p}& \cdots & {\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_p}\end{array}\right|.$

Usando el teorema de Laplace (la fórmula de Laplace) para un determinante, se puede definir recursivamente:

$\begin{array}{cc}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}& =\sum _{k=1}^p(-1{)}^{p+k}{\delta }_{{\nu }_k}^{{\mu }_p}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\check{\nu }}_k\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_k\dots {\check{\mu }}_p}\\ & ={\delta }_{{\nu }_p}^{{\mu }_p}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_{p-1}}^{{\mu }_1\dots {\mu }_{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}{\delta }_{{\nu }_k}^{{\mu }_p}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_{k-1}{\nu }_p{\nu }_{k+1}\dots {\nu }_{p-1}}^{{\mu }_1\dots {\mu }_{k-1}{\mu }_k{\mu }_{k+1}\dots {\mu }_{p-1}},\end{array}$

donde el símbolo denominado carón, Plantilla:Math, indica un índice que se omite en la secuencia.

Cuando Plantilla:Math (la dimensión del espacio vectorial), en términos del símbolo de Levi-Civita:

${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_n}^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}={\epsilon }^{{\mu }_1\dots {\mu }_n}{\epsilon }_{{\nu }_1\dots {\nu }_n}.$

Propiedades de la delta de Kronecker generalizada

La delta de Kronecker generalizada se puede utilizar para obtener una antisimetrización:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{p!}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}{a}^{{\nu }_1\dots {\nu }_p}& =a^{[{\mu }_1\dots {\mu }_p]},\\ \frac{1}{p!}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}{a}_{{\mu }_1\dots {\mu }_p}& =a_{[{\nu }_1\dots {\nu }_p]}.\end{array}$

De las ecuaciones anteriores y de las propiedades del tensor antisimétrico, se pueden deducir las propiedades de la delta de Kronecker generalizada:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{p!}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}{a}^{[{\nu }_1\dots {\nu }_p]}& =a^{[{\mu }_1\dots {\mu }_p]},\\ \frac{1}{p!}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}{a}_{[{\mu }_1\dots {\mu }_p]}& =a_{[{\nu }_1\dots {\nu }_p]},\\ \frac{1}{p!}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}{\delta }_{{\rho }_1\dots {\rho }_p}^{{\nu }_1\dots {\nu }_p}& ={\delta }_{{\rho }_1\dots {\rho }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p},\end{array}$

que son la versión generalizada de fórmulas descritas en el apartado Propiedades. La última fórmula es equivalente a la fórmula de Cauchy–Binet.

La reducción del orden mediante la suma de los índices puede expresarse mediante la identidad

${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_s{\mu }_{s+1}\dots {\mu }_p}^{{\mu }_1\dots {\mu }_s{\mu }_{s+1}\dots {\mu }_p}=\frac{(n-s)!}{(n-p)!}{\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_s}^{{\mu }_1\dots {\mu }_s}.$

Usando tanto la regla de la suma para el caso Plantilla:Math como la relación con el símbolo de Levi-Civita, la regla de suma del símbolo de Levi-Civita se deduce como:

${\delta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_s}^{{\mu }_1\dots {\mu }_s}=\frac{1}{(n-s)!}{\epsilon }^{{\mu }_1\dots {\mu }_s{\rho }_{s+1}\dots {\rho }_n}{\epsilon }_{{\nu }_1\dots {\nu }_s{\rho }_{s+1}\dots {\rho }_n}.$

La versión 4D de la última relación aparece en el enfoque espinorial de la relatividad general de Penrose que luego él mismo generalizó, mientras desarrollaba los diagramas de Aitken, para convertirse en parte de la técnica de notación gráfica de Penrose. Además, esta relación se usa ampliamente en las teorías dualidad-S, especialmente cuando están escritas en el lenguaje de formas diferenciales y duales de Hodge.

Representaciones integrales

Para cualquier entero Plantilla:Mvar, utilizando un cálculo de residuos estándar, se puede escribir una representación integral para la delta de Kronecker como la integral de abajo, donde el contorno de la integral va en sentido antihorario alrededor de cero. Esta representación también es equivalente a una integral definida por una rotación en el plano complejo.

${\delta }_{x,n}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=1}{z}^{x-n-1}dz=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{i(x-n)\phi }d\phi$

Peine de Kronecker

La función peine de Kronecker con el período Plantilla:Mvar se define (utilizando la notación usada en procesamiento digital de señales) como:

${\mathrm{\Delta }}_N[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta [n-kN],$

donde Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son números enteros. El peine de Kronecker consta así de una serie infinita de impulsos unitarios Plantilla:Mvar separados, e incluye el impulso unitario en cero. Puede considerarse que es el análogo discreto del peine de Dirac.

Integral de Kronecker

La delta de Kronecker también se denomina grado de aplicación de una superficie a otra. Supóngase que se lleva a cabo una aplicación desde la superficie Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar que son los límites de las regiones, Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar, y que están simplemente conectadas con una correspondencia de uno a uno. En este marco, si Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son parámetros para Plantilla:Mvar, y Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar están orientados según la normal externa de orden Plantilla:Math:

$u=u(s,t),v=v(s,t),w=w(s,t),$

mientras que la normal tiene la dirección de

$(u_s𝐢+v_s𝐣+w_s𝐤)\times (u_t𝐢+v_t𝐣+w_t𝐤).$

Sean Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math definidas y suaves en un dominio que contenga Plantilla:Mvar, de forma que estas ecuaciones definan la aplicación de Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. Entonces, el grado Plantilla:Mvar de mapeo es Plantilla:Math veces el ángulo sólido de la imagen Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar con respecto al punto interior de Plantilla:Mvar, Plantilla:Math. Si Plantilla:Math es el origen de la región, Plantilla:Mvar, entonces el grado, Plantilla:Mvar viene dado por la integral:

$\delta =\frac{1}{4\pi }\underset{R_{st}}{\iint }{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ \frac{\partial x}{\partial s}& \frac{\partial y}{\partial s}& \frac{\partial z}{\partial s}\\ \frac{\partial x}{\partial t}& \frac{\partial y}{\partial t}& \frac{\partial z}{\partial t}\end{array}\right|dsdt.$

Véase también

• Medida de Dirac
• Función indicatriz
• Símbolo de Levi-Civita
• Función unidad
• Puerta XNOR
• Álgebra de Virasoro
• Delta de Dirac
• Delta de Donsker

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld