Base holonómica

En matemáticas y física matemática, una base coordenada o base holonómica para una variedad diferenciable $M$, es un conjunto de bases de campos vectoriales $\{e_a\}$ definido en cada punto $P$ de una región de la variedad como

${𝐞}_{\alpha }=\underset{\delta x^{\alpha }\to 0}{\lim }\frac{\delta 𝐬}{\delta x^{\alpha }},$

donde $s$ es el vector de desplazamiento infinitesimal entre el punto $P$ y un punto cercano $Q$ cuya separación de coordenadas desde $P$ es $\delta x^a$ a lo largo de la curva de coordenadas $x^a$ (ej. la curva en la variedad a través de $P$ para la cual la coordenada $x^a$ varía pero todas las demás coordenadas son constantes.

Es posible hacer una asociación entre tal base y operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada $C$ en la variedad definida por $x^a(\lambda )$ con el vector tangente $u=u^a{e}_a$, donde $u^a=\frac{d{x}^a}{d\lambda }$, y una función $f(x^a)$ definida en un entorno de $C$, la variación de $f$ a lo largo de $C$ puede ser escrita como

$\frac{df}{d\lambda }=\frac{d{x}^{\alpha }}{d\lambda }\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha }}=u^{\alpha }\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha }}.$

Ya que tenemos que $u=u^a{e}_a$, la identificación es comúnmente hecha entre un vector de base de coordenadas $e_a$ y el operador diferencial parcial $\frac{\partial }{\partial x^a}$, bajo la interpretación de las relaciones de todos los vectores como iguales entre operadores actuando en cantidades escalares.

Una condición local para que una base $\{e_k\}$ sea holonómica es que (con esta interpretación) todas las derivadas de Lie mutuas, desaparezcan:

$[{𝐞}_{\alpha },{𝐞}_{\beta }]=0.$

Una base que no es holonómica, se le llama base no holonómica o base no coordenada.

Es generalmente imposible encontrar una base holonómica que también sea ortogonal en cada región abierta $U$ de una variedad $M$, con una obvia excepción del espacio coordenado real $R^n$, considerado como una variedad con la métrica euclidiana ${\delta }_{ij}$ en cada punto.