Biálgebra de Lie

En matemáticas, una biálgebra de Lie es un caso de biálgebra en la teoría de Lie, es decir, un conjunto con estructuras de álgebra de Lie y coálgebra de Lie compatibles.

Es una biálgebra donde la comultiplicación es antisimétrica y satisface una identidad de Jacobi dual, de forma que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie, al mismo tiempo que la comultiplicación es un 1-cociclo, de forma que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles. La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian únicamente clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un coborde.

Se conocen también como álgebras de Poisson-Hopf, y son el álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie.

Las biálgebras de Lie aparecen de forma natural en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter.

Definición

Un espacio vectorial $𝔤$ es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie y existe también una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio dual ${𝔤}^{*}$. De forma más precisa, la estructura de álgebra de Lie en $𝔤$ viene dada por un corchete de Lie $[,]:𝔤\otimes 𝔤\to 𝔤$ y la estructura de álgebra de Lie en ${𝔤}^{*}$ viene dada por un corchete de Lie ${\delta }^{*}:{𝔤}^{*}\otimes {𝔤}^{*}\to {𝔤}^{*}$. Entonces, la aplicación dual de ${\delta }^{*}$, $\delta :𝔤\to 𝔤\otimes 𝔤$ y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclos:

$\delta ([X,Y])=({\mathrm{ad}}_X\otimes 1+1\otimes {\mathrm{ad}}_X)\delta (Y)-({\mathrm{ad}}_Y\otimes 1+1\otimes {\mathrm{ad}}_Y)\delta (X)$

donde ${\mathrm{ad}}_{X}Y=[X,Y]$ es el adjunto. Nótese que esta definición es simétrica y por tanto ${𝔤}^{*}$ es también una biálgebra de Lie, y se denomina biálgebra de Lie dual.

Ejemplo

Sea $𝔤$ $𝔱\subset 𝔤$ y asignemos las raíces positivas. Sea ${𝔟}_{\pm }\subset 𝔤$ $𝔱={𝔟}_{-}\cap {𝔟}_{+}$ y existe una proyección natural $\pi :{𝔟}_{\pm }\to 𝔱$. Definimos entonces un álgebra de Lie

${𝔤}^{\prime }:=\{(X_{-},X_{+})\in {𝔟}_{-}\times {𝔟}_{+}|\pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}$

que es una subálgebra del producto ${𝔟}_{-}\times {𝔟}_{+}$, y tiene la misma dimensión que $𝔤$. Identificamos ahora ${𝔤}^{\prime }$ como el dual de $𝔤$,

$⟨(X_{-},X_{+}),Y⟩:=K(X_{+}-X_{-},Y)$

con $Y\in 𝔤$ y $K$ la forma de Killing. Esto define una estructura de biálgebra de Lie en $𝔤$, y es el ejemplo estándar: subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo. Nótese que ${𝔤}^{\prime }$$𝔤$ es semisimple.

Relación con los grupos de Poisson-Lie

El álgebra de Lie $𝔤$ de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de biálgebra de Lie. La estructura de grupo de Lie provee el corchete de Lie en $𝔤$ como es habitual, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en ${𝔤}^{\mathfrak{*}}$ (recordando que una estructura de Poisson lineal sobre un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie sobre el espacio dual). De forma más detallada, sea G un grupo de Poisson-Lie y sean $f_1,f_2\in C^{\mathrm{\infty }}(G)$ dos funciones suaves sobre la variedad de grupo. Sea $\xi =(df{)}_e$ el diferencial en el elemento identidad. Claramente, $\xi \in {𝔤}^{*}$. La estructura de Poisson en el grupo induce así un corchete en ${𝔤}^{*}$, dado por

$[{\xi }_1,{\xi }_2]=(d\{f_1,f_2\}{)}_e$

donde $\{,\}$ es el corchete de Poisson. Dado $\eta$ el bivector de Poisson sobre la variedad, se define ${\eta }^R$ como la traslación a derecha del bivector al elemento identidad en G. Se tiene entonces que

${\eta }^R:G\to 𝔤\otimes 𝔤$

El coconmutador es entonces la aplicación tangente:

$\delta =T_e{\eta }^R$

de manera que

$[{\xi }_1,{\xi }_2]={\delta }^{*}({\xi }_1\otimes {\xi }_2)$

es el dual del coconmutador.

Véase también

• Coálgebra de Lie
• Tripla de Manin

Referencias

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Claausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlín, Plantilla:ISBN.
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge Plantilla:ISBN.
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