Relación antisimétrica

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es antisimétrica^[1]^[2]^[3] cuando se da que si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí mediante $R$ , entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

\forall a, b \in A : a R b \land b R a \Rightarrow a = b

Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.

En tal caso, se dice que $R$ cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación $R$ sobre un conjunto $A$ , se representa con el par ordenado $(A, R)$ .

Representación

Sea $R$ una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto $A$ , entonces $R$ tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Como pares ordenados, $\forall a, b \in A, (a, b) \in R \land (b, a) \in R \Rightarrow a = b$ .
Como matriz de adyacencia $M$ , la matriz $M + M^{t}$ no tiene ningún 1 salvo, a lo sumo, en la diagonal principal.
Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.

Ejemplos

Sea $A$ un conjunto cualquiera:

Sea $(A, \geq)$ , $\geq$ ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que $>$ ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

Sea $(A, \leq)$ , $\leq$ ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que $<$ ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

Antisimetría $\neq$ asimetría

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").