Cardinal límite

En teoría de conjuntos, los cardinales límite son un tipo especial de cardinales:

• Un número cardinal λ es un cardinal límite débil si λ no es ni un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que uno no puede "llegar" a λ por un proceso reiterado de buscar el número cardinal siguiente (por esa razón todos los números naturales no son cardinales límites, ya que se puede llegar a ellos a partir de un número anterior reiterativamente). Estos cardinales a veces se llaman simplemente "cardinales límites" cuando el contexto está claro.
• Un número cardinal es un cardinal límite fuerte si λ no puede ser alcanzado mediante aplicaciones reiteradas de exponenciación. Esto significa que λ > 0 y que, para todo κ < λ, 2^κ < λ. Todo cardinal límite fuerte es también un cardinal límite débil, porque κ⁺ ≤ 2^κ para cualquier cardinal κ, donde κ⁺ designa el sucesor del cardinal κ.

El primer cardinal infinito, ${\mathrm{\aleph }}_0$ (álef 0), es un cardinal límite fuerte y por tanto también un cardinal límite débil.

Construcciones con cardinales límite

Una manera de construir cardinales límite es mediante la operación de unión. Por ejemplo, álef omega ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ es un cardinal límite débil, definido como la unión de todos los álef más pequeños que él (recuérdese que un número cardinal puede concebirse como un conjunto transitivo); y en general ${\mathrm{\aleph }}_{\lambda }$ para cualquier ordinal límite es un cardinal límite débil.

La función ב puede usarse para obtener cardinales límite fuertes. Esta función se define como una aplicación de los ordinales en los cardinales mediante la siguiente definición recursiva:

${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0,$

${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }},$ (es el ordinal no numerable más pequeño)

Si λ es un oridinal límite, ${\beth }_{\lambda }=\bigcup \{{\beth }_{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

El cardinal

${\beth }_{\omega }=\bigcup \{{\beth }_0,{\beth }_1,{\beth }_2,\dots \}=\bigcup _{n<\omega }{\beth }_n$

es un cardinal límite fuerte de cofinalidad ω. Más en general, dado cualquier ordinal α, el cardinal

${\beth }_{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }{\beth }_{\alpha +n}$

es un cardinal límite fuerte. Y por tanto, existen cardinales límite fuerte arbitrariamente grandes.

Véase también

• Cardinal inaccesible
• Cardinal regular

Referencias

Bibliografía

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Enlaces externos

• Infinite ink on cardinals