Cociente de Fermat

En teoría de números, el cociente de Fermat $q_{p}$ de un número entero a con respecto a un número primo impar p se define como^[1]^[2]^[3]^[4]

q_{p} (a) = \frac{a^{p - 1} - 1}{p},

o también

δ_{p} (a) = \frac{a - a^{p}}{p}

.

Este artículo trata sobre la primera definición; para la segunda véase p-derivación. El cociente lleva el nombre del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665).

Si la base a es coprima respecto al exponente p entonces el pequeño teorema de Fermat afirma que q_p(a) será un número entero. Si la base a también es generadora del grupo multiplicativo de enteros módulo p, entonces q_p(a) será un número cíclico y p será un número primo largo.

Propiedades

A partir de la definición, es obvio que

\begin{matrix} q_{p} (1) & \equiv 0 & (\mod p) \\ q_{p} (- a) & \equiv q_{p} (a) & (\mod p) (since 2 ∣ p - 1) \end{matrix}

En 1850, Ferdinand Eisenstein demostró que si a y b son coprimos con respecto a p, entonces:^[5]

\begin{matrix} q_{p} (a b) & \equiv q_{p} (a) + q_{p} (b) & (\mod p) \\ q_{p} (a^{r}) & \equiv r q_{p} (a) & (\mod p) \\ q_{p} (p \mp a) & \equiv q_{p} (a) \pm \frac{1}{a} & (\mod p) \\ q_{p} (p \mp 1) & \equiv \pm 1 & (\mod p) \end{matrix}

Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades implican que

\begin{matrix} q_{p} (\frac{1}{a}) & \equiv - q_{p} (a) & (\mod p) \\ q_{p} (\frac{a}{b}) & \equiv q_{p} (a) - q_{p} (b) & (\mod p) \end{matrix}

En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein permite obtener el corolario siguiente:^[6]

q_{p} (a + n p) \equiv q_{p} (a) - n \cdot \frac{1}{a} (\mod p) .

De esto se sigue que:^[7]

q_{p} (a + n p^{2}) \equiv q_{p} (a) (\mod p) .

Fórmula de Lerch

M. Lerch demostró en 1905 que^[8]^[9]^[10]

\sum_{j = 1}^{p - 1} q_{p} (j) \equiv W_{p} (\mod p) .

Aquí $W_{p}$ es el cociente de Wilson.

Valores especiales

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat con base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1, ..., p − 1} :

- 2 q_{p} (2) \equiv \sum_{k = 1}^{\frac{p - 1}{2}} \frac{1}{k} (\mod p) .

Autores posteriores demostraron que el número de términos requeridos en tal representación podría reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

- 3 q_{p} (2) \equiv \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{p}{4} ⌋} \frac{1}{k} (\mod p) .

^[11]

4 q_{p} (2) \equiv \sum_{k = ⌊ \frac{p}{10} ⌋ + 1}^{⌊ \frac{2 p}{10} ⌋} \frac{1}{k} + \sum_{k = ⌊ \frac{3 p}{10} ⌋ + 1}^{⌊ \frac{4 p}{10} ⌋} \frac{1}{k} (\mod p) .

^[12]

2 q_{p} (2) \equiv \sum_{k = ⌊ \frac{p}{6} ⌋ + 1}^{⌊ \frac{p}{3} ⌋} \frac{1}{k} (\mod p) .

^[13]^[14]

La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:

- 3 q_{p} (3) \equiv 2 \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{p}{3} ⌋} \frac{1}{k} (\mod p) .

^[15]

- 5 q_{p} (5) \equiv 4 \sum_{k = 1}^{⌊ \frac{p}{5} ⌋} \frac{1}{k} + 2 \sum_{k = ⌊ \frac{p}{5} ⌋ + 1}^{⌊ \frac{2 p}{5} ⌋} \frac{1}{k} (\mod p) .

^[16]

Primos de Wieferich generalizados

Si q_p(a) ≡ 0 (mod p) entonces a^p−1 ≡ 1 (mod p²). Los números primos para los que esto es cierto cuando a = 2 se denominan primos de Wieferich. En general, se denominan primos de Wieferich en base a. Las soluciones conocidas de q_p(a) ≡ 0 (mod p) para valores pequeños de a son :^[2]

a	p (comprobado hasta 5 × 10¹³)	Secuencia OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (All primes)	Plantilla:OEIS
2	1093, 3511	Plantilla:OEIS
3	11, 1006003	Plantilla:OEIS
4	1093, 3511
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	Plantilla:OEIS
6	66161, 534851, 3152573	Plantilla:OEIS
7	5, 491531	Plantilla:OEIS
8	3, 1093, 3511
9	2, 11, 1006003
10	3, 487, 56598313	Plantilla:OEIS
11	71
12	2693, 123653	Plantilla:OEIS
13	2, 863, 1747591	Plantilla:OEIS
14	29, 353, 7596952219	Plantilla:OEIS
15	29131, 119327070011	Plantilla:OEIS
16	1093, 3511
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	Plantilla:OEIS
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043	Plantilla:OEIS
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	Plantilla:OEIS
20	281, 46457, 9377747, 122959073	Plantilla:OEIS
21	2
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159	Plantilla:OEIS
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	Plantilla:OEIS
24	5, 25633
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707
27	11, 1006003
28	3, 19, 23
29	2
30	7, 160541, 94727075783

Para obtener más información, consúltese fermatquotient.com (^[17]^[18]^[19] y^[20]).

Las soluciones más pequeñas de q_p(a) ≡ 0 (mod p) con a= n son:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... Plantilla:OEIS

Un par (p, r) de números primos tales que q_p(r) ≡ 0 (mod p) y q' 'r(p) ≡ 0 (mod r) se llama par de Wieferich.

Referencias

Plantilla:Listaref

Enlaces externos

Gottfried Helms. Fermat-/Euler-quotients (a^p-1 – 1)/p^k with arbitrary k.
Richard Fischer. Fermat quotients B^(P-1)== 1 (mod P^2).

Plantilla:Control de autoridades

↑ Plantilla:MathWorld
↑ ^2,0 ^2,1 Fermat Quotient at The Prime Glossary
↑ Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), especially pp. 152, 159-161.
↑ Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.
↑ Ferdinand Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
↑ Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (r^{p − 1} − 1):p= q_r (mod p)," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
↑ Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
↑ Plantilla:Cite journal
↑ Plantilla:Cite arXiv
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↑ Ladislav Skula, "A note on some relations among special sums of reciprocals modulo p," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
↑ Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.
↑ Karl Dilcher and Ladislav Skula, "A New Criterion for the First Case of Fermat's Last Theorem," Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
↑ James Whitbread Lee Glaisher, "A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function," Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, at pp. 49-50.
↑ Mathias Lerch, "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.
↑ Wieferich primes to bases up to 1052
↑ Wieferich.txt primes to bases up to 10125
↑ Plantilla:Cita web
↑ Wieferich primes with level >= 3

[1] Plantilla:MathWorld

[pg-2] 2,0 ^2,1 Fermat Quotient at The Prime Glossary

[3] Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), especially pp. 152, 159-161.

[4] Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.

[5] Ferdinand Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42

[6] Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (r^{p − 1} − 1):p= q_r (mod p)," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300

[7] Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.

[Lerch-8] Plantilla:Cite journal

[Sondow-9] Plantilla:Cite arXiv

[SondowMacMillan-10] Plantilla:Cite arXiv

[11] James Whitbread Lee Glaisher, "On the Residues of r^{p − 1} to Modulus p², p³, etc.," Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.

[12] Ladislav Skula, "A note on some relations among special sums of reciprocals modulo p," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.

[13] Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.

[14] Karl Dilcher and Ladislav Skula, "A New Criterion for the First Case of Fermat's Last Theorem," Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.

[15] James Whitbread Lee Glaisher, "A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function," Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, at pp. 49-50.

[16] Mathias Lerch, "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.

[17] Wieferich primes to bases up to 1052

[18] Wieferich.txt primes to bases up to 10125

[19] Plantilla:Cita web

[20] Wieferich primes with level >= 3

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