Número primo largo

En teoría de números, un número primo largo, (o también primo repetitivo completo, o primo propio)^[1]Plantilla:Rp en base b, es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat

q_{p} (b) = \frac{b^{p - 1} - 1}{p}

(donde p no divide a b) genera un número cíclico. Por lo tanto, la expansión en base b de $1 / p$ repite infinitamente los dígitos del número cíclico correspondiente, al igual que $a / p$ con la rotación de los dígitos para cualquier a entre 1 y p − 1. El número cíclico correspondiente al primo p poseerá p − 1 dígitos si y solo si p es un número primo largo. Es decir, el orden multiplicativo Plantilla:Nobr = p − 1, lo que equivale a que b cumpla el ser una raiz

numerica

módulo p.

El término primo largo fue utilizado por John Conway y Richard Guy en su "Libro de los Números". De manera confusa, Sloane de OEIS se refiere a estos números primos como números cíclicos.

Base 10

Se puede suponer que se trabaja en base 10 si no se especifica la base, en cuyo caso la expansión del número se denomina número decimal periódico. En base 10, si una repetición completa termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en la repetición el mismo número de veces que los demás dígitos^[1]Plantilla:Rp (para tales números primos en base 10, consúltese Plantilla:OEIS). De hecho, en base b, si un primo largo termina en el dígito 1, entonces cada dígito 0, 1, ..., b − 1 aparece en la repetición el mismo número de veces que los demás dígitos, pero tal número primo no existe cuando b = 12, ya que cada número primo completo en base 12 termina en el dígito 5 o 7 en la misma base. Generalmente, no existe tal número primo cuando b es congruente a 0 o 1 módulo 4.

Los valores de p menores a 1000 para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en expresión decimal son:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ... Plantilla:OEIS

Por ejemplo, el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857; por lo tanto, 7 es un número primo largo. Además, 1 dividido por 7 escrito en base 10 es Plantilla:Nobr

No todos los valores de p producirán un número cíclico usando esta fórmula; por ejemplo, p = 13 da Plantilla:Nobr Estos casos fallidos siempre contendrán una repetición de dígitos (posiblemente varios) en el transcurso de p − 1 dígitos.

El patrón conocido de esta sucesión viene de la teoría de números algebraicos. Específicamente, esta sucesión es el conjunto de primos p tal que 10 es una raíz primitiva módulo p. La conjetura de Artin sobre raíces primitivas es que esta secuencia contiene el 37.395...% de los números primos.

Patrones de aparición de números primos largos

Mediante aritmética modular avanzada se puede demostrar que cualquier número primo de las siguientes formas: Plantilla:Lista de columnas nunca puede ser un primo largo en base 10. Los primeros primos de estas formas, con sus periodos, son:

40k + 1	40k + 3	40k + 9	40k + 13	40k + 27	40k + 31	40k + 37	40k + 39
41 periodo 5	3 periodo 1	89 periodo 44	13 periodo 6	67 periodo 33	31 periodo 15	37 periodo 3	79 periodo 13
241 periodo 30	43 periodo 21	409 periodo 204	53 periodo 13	107 periodo 53	71 periodo 35	157 periodo 78	199 periodo 99
281 periodo 28	83 periodo 41	449 periodo 32	173 periodo 43	227 periodo 113	151 periodo 75	197 periodo 98	239 periodo 7
401 periodo 200	163 periodo 81	569 periodo 284	293 periodo 146	307 periodo 153	191 periodo 95	277 periodo 69	359 periodo 179
521 periodo 52	283 periodo 141	769 periodo 192	373 periodo 186	347 periodo 173	271 periodo 5	317 periodo 79	439 periodo 219
601 periodo 300	443 periodo 221	809 periodo 202	613 periodo 51	467 periodo 233	311 periodo 155	397 periodo 99	479 periodo 239

Sin embargo, los estudios muestran que dos tercios de los primos de la forma 40k + n, donde n ∈ {7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33} son primos largos. Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos largos es mucho mayor. Por ejemplo, 285 de los 295 primos de la forma 120k + 23 por debajo de 100000 son números primos largos, siendo 20903 el primero que no lo es.

Números primos largos binarios

En sistema binario, los primos largos son: (menores que 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... Plantilla:OEIS

Para estos números primos, 2 es una raíz primitiva módulo p, por lo que 2ⁿ módulo p puede ser cualquier número natural entre 1 y p − 1.

a (i) = 2^{i} mod p mod 2 .

Estas secuencias de período p − 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para el desplazamiento de $(p - 1) / 2$ . La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante los tests diehard.^[2]

Todos ellos son de la forma 8k + 3 o 8k + 5, porque si p = 8k + 1 o 8k + 7, entonces 2 es un residuo cuadrático módulo p, por lo que p divide a $2^{(p - 1) / 2} - 1$ , y el periodo de $1 / p$ en base 2 debe dividir a $(p - 1) / 2$ y no puede ser p − 1, por lo que no son primos largos en base 2.

Además, todos los primos seguros congruentes con 3 módulo 8 son primos largos en base 2. Por ejemplo, 3, 11, 59, 83, 107, 179, 227, 347, 467, 563, 587, 1019, 1187, 1283, 1307, 1523, 1619, 1907, etc. (menores de 2000).

Las secuencias de primos largos binarios (también llamadas secuencias decimales de longitud máxima) han encontrado aplicaciones en criptografía y código de corrección de errores.^[3] En estas aplicaciones, generalmente se utilizan decimales periódicos en base 2, lo que da lugar a secuencias binarias. También se ha analizado la secuencia binaria de longitud máxima para $1 / p$ (cuando 2 es una raíz primitiva de p).^[4]

La siguiente tabla contiene los períodos (en binario) de los números primos congruentes con 1 o 7 (mod 8): (menores de 1000)

8k + 1	17	41	73	89	97	113	137	193	233	241	257	281	313	337	353	401	409	433	449	457	521	569
periodo	8	20	9	11	48	28	68	96	29	24	16	70	156	21	88	200	204	72	224	76	260	284
8k + 1	577	593	601	617	641	673	761	769	809	857	881	929	937	953	977	1009	1033	1049	1097	1129	1153	1193
periodo	144	148	25	154	64	48	380	384	404	428	55	464	117	68	488	504	258	262	274	564	288	298
8k + 7	7	23	31	47	71	79	103	127	151	167	191	199	223	239	263	271	311	359	367	383	431	439
periodo	3	11	5	23	35	39	51	7	15	83	95	99	37	119	131	135	155	179	183	191	43	73
8k + 7	463	479	487	503	599	607	631	647	719	727	743	751	823	839	863	887	911	919	967	983	991	1031
periodo	231	239	243	251	299	303	45	323	359	121	371	375	411	419	431	443	91	153	483	491	495	515

Ninguno de ellos es un número primo largo binario.

El periodo binario de cada n-ésimo primo es

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 11, 28, 5, 36, 20, 14, 23, 52, 58, 60, 66, 35, 9, 39, 82, 11, 48, 100, 51, 106, 36, 28, 7, 130, 68, 138, 148, 15, 52, 162, 83, 172, 178, 180, 95, 96, 196, 99, 210, 37, 226, 76, 29, 119, 24, 50, 16, 131, 268, 135, 92, 70, 94, 292, 102, 155, 156, 316, 30, 21, 346, 348, 88, 179, 183, 372, 378, 191, 388, 44, ... (esta secuencia comienza en n = 2, o primo = 3) Plantilla:OEIS

El nivel del período binario de cada n-ésimo primo es

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 8, 2, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 3, 4, 18, 1, 2, 1, 1, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 3, 8, 2, 10, 5, 16, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 11, 16, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 9, 2, 2, 1, 1, 10, 6, 6, 1, 2, 6, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, ... Plantilla:OEIS

Sin embargo, estudios numéricos demuestran que las tres cuartas partes de los números primos de la forma 8k + n, donde n ∈ {3, 5} son números primos largos en base 2 (por ejemplo, hay 87 números primos por debajo de 1000 congruentes con 3 o 5 módulo 8, y 67 de ellos son números primos largos en base 2, lo que supone un total del 77 %). Para algunas secuencias, la preponderancia de números primos largos es mucho mayor. Por ejemplo, 1078 de los 1206 números primos de la forma 24k + 5 por debajo de 100000 son números primos de largos en base 2, siendo 1013 el primero que no lo es en base 2.

Primos largos de n-ésimo nivel

Un primo largo de n-ésimo nivel es un primo p que tiene n ciclos diferentes en expansiones de $\frac{k}{p}$ (k es un número entero, 1 ≤ k ≤ p−1). En base 10, los números primos largos de nivel n más pequeños son

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931, 9161, 118901, 6763, 18233, 1409, 88741, 4003, 5171, 19489, 86143, 23201, ... Plantilla:OEIS

En base 2, los números primos largos de nivel n más pequeños son

3, 7, 43, 113, 251, 31, 1163, 73, 397, 151, 331, 1753, 4421, 631, 3061, 257, 1429, 127, 6043, 3121, 29611, 1321, 18539, 601, 15451, 14327, 2971, 2857, 72269, 3391, 683, 2593, 17029, 2687, 42701, 11161, 13099, 1103, 71293, 13121, 17467, 2143, 83077, 25609, 5581, 5153, 26227, 2113, 51941, 2351, ... Plantilla:OEIS

n	Primos largos de n-ésimo nivel (en decimal)	Secuencia OEIS
1	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, ...	Plantilla:OEIS (Plantilla:OEIS)
2	3, 13, 31, 43, 67, 71, 83, 89, 107, 151, 157, 163, 191, 197, 199, 227, 283, 293, 307, 311, 347, 359, 373, 401, 409, 431, 439, 443, 467, 479, 523, 557, 563, 569, 587, 599, ...	Plantilla:OEIS
3	103, 127, 139, 331, 349, 421, 457, 463, 607, 661, 673, 691, 739, 829, 967, 1657, 1669, 1699, 1753, 1993, 2011, 2131, 2287, 2647, 2659, 2749, 2953, 3217, 3229, 3583, 3691, 3697, 3739, 3793, 3823, 3931, ...	Plantilla:OEIS
4	53, 173, 277, 317, 397, 769, 773, 797, 809, 853, 1009, 1013, 1093, 1493, 1613, 1637, 1693, 1721, 2129, 2213, 2333, 2477, 2521, 2557, 2729, 2797, 2837, 3329, 3373, 3517, 3637, 3733, 3797, 3853, 3877, ...	Plantilla:OEIS
5	11, 251, 1061, 1451, 1901, 1931, 2381, 3181, 3491, 3851, 4621, 4861, 5261, 6101, 6491, 6581, 6781, 7331, 8101, 9941, 10331, 10771, 11251, 11261, 11411, 12301, 14051, 14221, 14411, ...	Plantilla:OEIS
6	79, 547, 643, 751, 907, 997, 1201, 1213, 1237, 1249, 1483, 1489, 1627, 1723, 1747, 1831, 1879, 1987, 2053, 2551, 2683, 3049, 3253, 3319, 3613, 3919, 4159, 4507, 4519, 4801, 4813, 4831, 4969, ...	Plantilla:OEIS
7	211, 617, 1499, 2087, 2857, 6007, 6469, 7127, 7211, 7589, 9661, 10193, 13259, 13553, 14771, 18047, 18257, 19937, 20903, 21379, 23549, 26153, 27259, 27539, 32299, 33181, 33461, 34847, 35491, 35897, ...	Plantilla:OEIS
8	41, 241, 1601, 1609, 2441, 2969, 3041, 3449, 3929, 4001, 4409, 5009, 6089, 6521, 6841, 8161, 8329, 8609, 9001, 9041, 9929, 13001, 13241, 14081, 14929, 16001, 16481, 17489, 17881, 18121, 19001, ...	Plantilla:OEIS
9	73, 1423, 1459, 2377, 2503, 3457, 7741, 9433, 10891, 10909, 16057, 17299, 17623, 20269, 21313, 22699, 24103, 26263, 28621, 28927, 29629, 30817, 32257, 34273, 34327, ...	Plantilla:OEIS
10	281, 521, 1031, 1951, 2281, 2311, 2591, 3671, 5471, 5711, 6791, 7481, 8111, 8681, 8761, 9281, 9551, 10601, 11321, 12401, 13151, 13591, 14831, 14951, 15671, 16111, 16361, 18671, ...	Plantilla:OEIS
n	Primos largos de n-ésimo nivel (en binario)	Secuencia OEIS
1	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, ...	Plantilla:OEIS
2	7, 17, 23, 41, 47, 71, 79, 97, 103, 137, 167, 191, 193, 199, 239, 263, 271, 311, 313, 359, 367, 383, 401, 409, 449, 463, 479, 487, 503, 521, 569, 599, 607, 647, 719, 743, 751, 761, 769, ...	Plantilla:OEIS
3	43, 109, 157, 229, 277, 283, 307, 499, 643, 691, 733, 739, 811, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, 1459, 1579, 1597, 1627, 1699, 1723, 1789, 1933, 2179, 2203, 2251, 2341, 2347, 2749, 2917, ...	Plantilla:OEIS
4	113, 281, 353, 577, 593, 617, 1033, 1049, 1097, 1153, 1193, 1201, 1481, 1601, 1889, 2129, 2273, 2393, 2473, 3049, 3089, 3137, 3217, 3313, 3529, 3673, 3833, 4001, 4217, 4289, 4457, 4801, 4817, 4937, ...	Plantilla:OEIS
5	251, 571, 971, 1181, 1811, 2011, 2381, 2411, 3221, 3251, 3301, 3821, 4211, 4861, 4931, 5021, 5381, 5861, 6221, 6571, 6581, 8461, 8501, 9091, 9461, 10061, 10211, 10781, 11251, 11701, 11941, 12541, ...	Plantilla:OEIS
6	31, 223, 433, 439, 457, 727, 919, 1327, 1399, 1423, 1471, 1831, 1999, 2017, 2287, 2383, 2671, 2767, 2791, 2953, 3271, 3343, 3457, 3463, 3607, 3631, 3823, 3889, 4129, 4423, 4519, 4567, 4663, 4729, 4759, ...	Plantilla:OEIS
7	1163, 1709, 2003, 3109, 3389, 3739, 5237, 5531, 5867, 7309, 9157, 9829, 10627, 10739, 11117, 11243, 11299, 11411, 11467, 13259, 18803, 20147, 20483, 21323, 21757, 27749, 27763, 29947, ...	Plantilla:OEIS
8	73, 89, 233, 937, 1217, 1249, 1289, 1433, 1553, 1609, 1721, 1913, 2441, 2969, 3257, 3449, 4049, 4201, 4273, 4297, 4409, 4481, 4993, 5081, 5297, 5689, 6089, 6449, 6481, 6689, 6857, 7121, 7529, 7993, ...	Plantilla:OEIS
9	397, 7867, 10243, 10333, 12853, 13789, 14149, 14293, 14563, 15643, 17659, 18379, 18541, 21277, 21997, 23059, 23203, 26731, 27739, 29179, 29683, 31771, 34147, 35461, 35803, 36541, 37747, 39979, ...	Plantilla:OEIS
10	151, 241, 431, 641, 911, 3881, 4751, 4871, 5441, 5471, 5641, 5711, 6791, 6871, 8831, 9041, 9431, 10711, 12721, 13751, 14071, 14431, 14591, 15551, 16631, 16871, 17231, 17681, 17791, 18401, 19031, 19471, ...	Plantilla:OEIS

Números primos largos en varias bases

Artin también conjeturó que:

Hay infinitos números primos largos en todas las bases excepto en las que son un cuadrado.
Los números primos largos en todas las bases excepto en las que son potencias perfectas y los números cuyas partes libres de cuadrados son congruentes con 1 módulo 4 comprenden el 37,395...% de todos los números primos (véase Plantilla:OEIS)

Base	Primos largos	Secuencia OEIS
−30	7, 41, 61, 83, 89, 107, 109, 127, 139, 173, 193, 197, 211, 227, 239, 281, 293, 311, 317, 331, 347, 349, 359, ...	Plantilla:OEIS
−29	2, 17, 23, 41, 59, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 113, 137, 139, 167, 179, 199, 223, 227, 229, 239, 269, ...	Plantilla:OEIS
−28	3, 5, 13, 17, 19, 31, 41, 47, 59, 73, 83, 89, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 181, 227, 229, 251, 257, 269, 283, ...	Plantilla:OEIS
−27	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	Plantilla:OEIS
−26	11, 23, 29, 41, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 127, 137, 157, 163, 173, 191, 193, 199, 227, 263, ...	Plantilla:OEIS
−25	2, 3, 7, 11, 19, 23, 43, 47, 59, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 151, 167, 179, 223, 227, 239, 263, 283, 307, 311, ...	Plantilla:OEIS
−24	13, 17, 19, 37, 41, 43, 47, 71, 89, 109, 113, 137, 139, 157, 163, 167, 181, 191, 211, 229, 233, 257, 263, 277, ...	Plantilla:OEIS
−23	2, 5, 7, 17, 19, 43, 67, 83, 89, 97, 107, 113, 137, 149, 181, 191, 199, 227, 229, 251, 263, 281, 283, 293, 337, ...	Plantilla:OEIS
−22	3, 5, 17, 37, 41, 53, 59, 151, 167, 179, 193, 233, 251, 263, 269, 271, 281, 317, 337, 359, 379, 389, 397, 409, ...	Plantilla:OEIS
−21	2, 29, 47, 53, 59, 67, 83, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 167, 181, 197, 227, 233, 251, 281, 311, 313, ...	Plantilla:OEIS
−20	11, 13, 17, 31, 37, 53, 59, 73, 79, 113, 131, 137, 139, 157, 173, 179, 191, 199, 211, 233, 239, 257, 271, 277, ...	Plantilla:OEIS
−19	2, 3, 13, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 89, 103, 107, 113, 167, 173, 179, 193, 223, 227, 257, 269, 281, ...	Plantilla:OEIS
−18	5, 7, 23, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 71, 101, 103, 109, 127, 149, 151, 157, 167, 173, 181, 191, 197, 223, 239, ...	Plantilla:OEIS
−17	2, 5, 19, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 83, 97, 103, 113, 127, 151, 173, 179, 191, 193, 197, 233, 239, 251, 263, ...	Plantilla:OEIS
−16	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	Plantilla:OEIS
−15	2, 11, 13, 29, 37, 41, 43, 59, 71, 73, 89, 97, 101, 103, 127, 131, 149, 157, 163, 179, 191, 193, 239, 251, 269, ...	Plantilla:OEIS
−14	11, 17, 29, 31, 43, 47, 53, 73, 89, 97, 107, 109, 149, 163, 167, 179, 199, 241, 257, 271, 277, 311, 313, 317, ...	Plantilla:OEIS
−13	2, 3, 5, 23, 37, 41, 43, 73, 79, 89, 97, 107, 109, 127, 131, 137, 139, 149, 179, 191, 197, 199, 241, 251, 263, ...	Plantilla:OEIS
−12	5, 17, 23, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 239, 251, 257, ...	Plantilla:OEIS
−11	2, 7, 13, 17, 29, 41, 73, 79, 83, 101, 107, 109, 127, 131, 139, 149, 151, 167, 173, 197, 227, 233, 239, 263, ...	Plantilla:OEIS
−10	3, 17, 29, 31, 43, 61, 67, 71, 83, 97, 107, 109, 113, 149, 151, 163, 181, 191, 193, 199, 227, 229, 233, 257, ...	Plantilla:OEIS
−9	2, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 71, 79, 83, 107, 127, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, ...	Plantilla:OEIS
−8	5, 23, 29, 47, 53, 71, 101, 149, 167, 173, 191, 197, 239, 263, 269, 293, 311, 317, 359, 383, 389, 461, 479, ...	Plantilla:OEIS
−7	2, 3, 5, 13, 17, 31, 41, 47, 59, 61, 83, 89, 97, 101, 103, 131, 139, 167, 173, 199, 227, 229, 241, 251, 257, ...	Plantilla:OEIS
−6	13, 17, 19, 23, 41, 47, 61, 67, 71, 89, 109, 113, 137, 157, 167, 211, 229, 233, 257, 263, 277, 283, 331, 359, ...	Plantilla:OEIS
−5	2, 11, 17, 19, 37, 53, 59, 73, 79, 97, 113, 131, 137, 139, 151, 157, 173, 179, 193, 197, 233, 239, 257, 277, ...	Plantilla:OEIS
−4	3, 7, 11, 19, 23, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 227, 239, 263, 271, ...	Plantilla:OEIS
−3	2, 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113, 131, 137, 149, 167, 173, 179, 191, 197, 227, 233, ...	Plantilla:OEIS
−2	5, 7, 13, 23, 29, 37, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 149, 167, 173, 181, 191, 197, 199, 239, 263, 269, 271, 293, ...	Plantilla:OEIS
2	3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, ...	Plantilla:OEIS
3	2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, ...	Plantilla:OEIS
4	(ninguno)
5	2, 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97, 103, 107, 113, 137, 157, 167, 173, 193, 197, 223, 227, 233, 257, ...	Plantilla:OEIS
6	11, 13, 17, 41, 59, 61, 79, 83, 89, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 151, 157, 179, 199, 223, 227, 229, 233, ...	Plantilla:OEIS
7	2, 5, 11, 13, 17, 23, 41, 61, 67, 71, 79, 89, 97, 101, 107, 127, 151, 163, 173, 179, 211, 229, 239, 241, 257, ...	Plantilla:OEIS
8	3, 5, 11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, 131, 149, 173, 179, 197, 227, 269, 293, 317, 347, 389, 419, 443, 461, 467, ...	Plantilla:OEIS
9	2 (no otros)
10	7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, ...	Plantilla:OEIS
11	2, 3, 13, 17, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 101, 103, 109, 149, 163, 173, 179, 197, 223, 233, 251, 277, ...	Plantilla:OEIS
12	5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, ...	Plantilla:OEIS
13	2, 5, 11, 19, 31, 37, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 109, 137, 149, 151, 167, 197, 227, 239, 241, 281, 293, ...	Plantilla:OEIS
14	3, 17, 19, 23, 29, 53, 59, 73, 83, 89, 97, 109, 127, 131, 149, 151, 227, 239, 241, 251, 257, 263, 277, 283, 307, ...	Plantilla:OEIS
15	2, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 139, 149, 151, 157, 167, 193, 199, 227, 263, 269, 271, ...	Plantilla:OEIS
16	(ninguno)
17	2, 3, 5, 7, 11, 23, 31, 37, 41, 61, 97, 107, 113, 131, 139, 167, 173, 193, 197, 211, 227, 233, 269, 277, 283, ...	Plantilla:OEIS
18	5, 11, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 109, 139, 149, 157, 163, 173, 179, 181, 197, 227, 251, 269, ...	Plantilla:OEIS
19	2, 7, 11, 13, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 83, 89, 113, 139, 163, 173, 191, 193, 239, 251, 257, 263, 269, 281, ...	Plantilla:OEIS
20	3, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 103, 107, 113, 137, 157, 163, 167, 173, 223, 227, 233, 257, 263, 277, ...	Plantilla:OEIS
21	2, 19, 23, 29, 31, 53, 71, 97, 103, 107, 113, 137, 139, 149, 157, 179, 181, 191, 197, 223, 233, 239, 263, 271, ...	Plantilla:OEIS
22	5, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 71, 83, 107, 131, 139, 191, 193, 199, 211, 223, 227, 233, 269, 281, 283, 307, ...	Plantilla:OEIS
23	2, 3, 5, 17, 47, 59, 89, 97, 113, 127, 131, 137, 149, 167, 179, 181, 223, 229, 281, 293, 307, 311, 337, 347, ...	Plantilla:OEIS
24	7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 59, 83, 89, 107, 109, 113, 137, 157, 179, 181, 223, 227, 229, 233, 251, 257, 277, ...	Plantilla:OEIS
25	2 (no otros)
26	3, 7, 29, 41, 43, 47, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 107, 131, 137, 139, 157, 167, 173, 179, 193, 239, 251, 269, 271, ...	Plantilla:OEIS
27	2, 5, 17, 29, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269, 281, 293, 317, 353, 389, 401, 449, 461, 509, ...	Plantilla:OEIS
28	5, 11, 13, 17, 23, 41, 43, 67, 71, 73, 79, 89, 101, 107, 173, 179, 181, 191, 229, 257, 263, 269, 293, 313, 331, ...	Plantilla:OEIS
29	2, 3, 11, 17, 19, 41, 43, 47, 73, 79, 89, 97, 101, 113, 127, 131, 137, 163, 191, 211, 229, 251, 263, 269, 293, ...	Plantilla:OEIS
30	11, 23, 41, 43, 47, 59, 61, 79, 89, 109, 131, 151, 167, 173, 179, 193, 197, 199, 251, 263, 281, 293, 307, 317, ...	Plantilla:OEIS

Los primos largos más pequeños en base n son:

2, 3, 2, 0, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 0, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 19, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 11, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 3, 2, 5, 2, 19, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 19, 2, 5, 2, 3, 2, 13, 2, 5, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 2, 3, 2, 0, ... Plantilla:OEIS

Véase también

Número decimal periódico

Referencias

Plantilla:Reflist

Bibliografía

Plantilla:MathWorld
Plantilla:MathWorld
Conway, J. H. y Guy, R. K. El Libro de los Números. Nueva York: Springer-Verlag, 1996.
Francisco, Richard L.; "Pajares matemáticos: otra mirada a los números de Repunit"; en The College Mathematics Journal, vol. 19, núm. 3 (mayo de 1988), págs. 240–246.

Plantilla:Control de autoridades

↑ ^1,0 ^1,1 Dickson, Leonard E., 1952, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Public. Co.
↑ Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing". 2013. Plantilla:ArXiv.
↑ Kak, Subhash, Chatterjee, A. "On decimal sequences". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647–652, September 1981.
↑ Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences". IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, pp. 803–809, 1985.

[Dickson-1] 1,0 ^1,1 Dickson, Leonard E., 1952, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Public. Co.

[2] Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing". 2013. Plantilla:ArXiv.

[3] Kak, Subhash, Chatterjee, A. "On decimal sequences". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647–652, September 1981.

[4] Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences". IEEE Trans. On Computers, vol. C-34, pp. 803–809, 1985.

[1]

[2]

[3]

[4]

Número primo largo

Sumario

Base 10

Patrones de aparición de números primos largos

Números primos largos binarios

Primos largos de n-ésimo nivel

Números primos largos en varias bases

Véase también

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