Coeficiente trinomial

Partiendo de la definición de coeficiente binomial y de su expresión algebraica (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica), se puede extender la idea de coeficientes binomiales a lo que se denominan coeficientes trinomiales, con los cuales se puede desarrollar el teorema del trinomio.^[1]

Pasos previos

En la fórmula algebraica de los coeficientes binomiales [el coeficiente biniomial $(\binom{n}{k})$ está dado por la fórmula $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica para obtener la referencia completa)], se obtiene que la suma de los números en el denominador es igual al numerador. Esto se puede expresar como $n = k + (n - k)$ ^[1]

Si se define un $r_{1} = k$ y un $r_{2} = n - k$ [ $r_{1}$ y $r_{2}$ son enteros positivos ( $r_{1}$ , $r_{2}$ $\in Z^{+}$ )] se obtiene que $(\binom{n}{k}) = (\binom{n!}{r_{1}! \cdot r_{2}!})$ , por lo tanto se puede usar la notación $(\binom{n}{r_{1}, r_{2}})$ para referirse a la misma expresión algebraica (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica).^[1]

Definición

Si $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ son enteros positivos ( $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ $\in Z^{+}$ ) y $r_{1} + r_{2} + r_{3} = n$ , entonces el coeficiente trinomial $(\binom{n}{r_{1}, r_{2}, r_{3}})$ queda definido como $(\binom{n}{r_{1}, r_{2}, r_{3}}) = \frac{n!}{r_{1}! \cdot r_{2}! \cdot r_{3}!}$

Como se ha definido anteriormente, si $r_{1} + r_{2} + r_{3} = n$ , por la propiedad conmutativa de la multiplicación:

$(\binom{n}{r_{1}, r_{2}, r_{3}})$ = $(\binom{n}{r_{1}, r_{3}, r_{2}})$ = $(\binom{n}{r_{2}, r_{1}, r_{3}})$ = $(\binom{n}{r_{2}, r_{3}, r_{1}})$ = $(\binom{n}{r_{3}, r_{1}, r_{2}})$ = $(\binom{n}{r_{3}, r_{2}, r_{1}})$

Por lo que se concluye que si $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ son enteros positivos ( $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ $\in Z^{+}$ ) y $r_{1} + r_{2} + r_{3} = n$ existen 3! maneras de representar el mismo coeficiente trinomial.^[1]

Ejemplo

Si se quiere calcular el valor de $(\binom{n}{r_{1}, r_{2}, r_{3}})$ , siendo $n = 10$ , $r_{1} = 2$ , $r_{2} = 3$ , $r_{3} = 5$ $⟹$ $(\binom{10}{2, 3, 5})$ :

Aplicando la definición $(\binom{n}{r_{1}, r_{2}, r_{3}}) = \frac{n!}{r_{1}! \cdot r_{2}! \cdot r_{3}!}$ :

$(\binom{10}{2, 3, 5}) = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 5!} = 2520$

Como se puede comprobar $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ son enteros positivos ( $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ $\in Z^{+}$ ) y $r_{1} + r_{2} + r_{3} = n$

Referencias

Plantilla:Listaref

Plantilla:Control de autoridades

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Plantilla:Cita web

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Plantilla:Cita web

[1]

Coeficiente trinomial

Sumario

Pasos previos

Definición

Ejemplo

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Coeficiente trinomial

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