Teorema del trinomio

Plantilla:Referencias adicionales

Si partimos de la definición del teorema del binomio (véase teorema del binomio, formulación del teorema) y coeficiente trinomial (véase coeficiente trinomial, pasos previos) se puede reescribir la fórmula del teorema del binomio de tal forma que para la expansión de un trinomio $(x + y + z)^{n}$ se cumple un teorema análogo.^[1]

Plantilla:Contenido

Pasos previos

En la sección pasos previos del coeficiente trinomial, queda definido que el coeficiente binomial $(\binom{n}{k})$ podía ser reescrito si se define un $r_{1} = k$ y un $r_{2} = n - k$ [ $r_{1}$ y $r_{2}$ son enteros positivos ( $r_{1}$ , $r_{2}$ $\in Z^{+}$ )] siendo $r_{1} + r_{2} = n$ , de tal forma que $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{r_{1}, r_{2}})$ .

Basándose en el teorema del binomio que establece que cualquier potencia de un binomio $x + y$ puede ser expandida en una suma de la forma: Plantilla:Teorema(Véase la referencia completa en teorema del binomio, formulación del teorema).

se puede reescribir el binomio anterior de la siguiente forma: $(x + y)^{n} = \sum_{n = r_{1} + r_{2}} (\binom{n}{r_{1}, r_{2}}) x^{r_{2}} y^{r_{1}}$

Definición

Si $x, y, z \in ℝ,$ $r_{1}$ , $r_{2}$ y $r_{3}$ son enteros positivos ( $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ $\in Z^{+}$ ) tal que $n = r_{1} + r_{2} + r_{3}$ , entonces la expansión del trinomio $(x + y + z)^{n}$ viene dada por la expresión $(x + y + z)^{n} = \sum_{n = r_{1} + r_{2} + r_{3}} (\binom{n}{r_{1}, r_{2}, r_{3}}) x^{r_{2}} y^{r_{1}} z^{r_{3}}$ ^[1]

De esta forma para la expansión de un trinomio $(x + y + z)^{n}$ se cumple un teorema análogo.^[1]

Referencias

Plantilla:Listaref petris

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↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Plantilla:Cita web

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Plantilla:Cita web

[1]

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