Combinación afín

Combinación afín $tA+(1-t)B$ de dos puntos $A,B\in 𝔸\mathbb{=}{ℝ}^{\mathrm{𝟚}}$ con $t\in [-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$. El conjunto de todas las combinaciones afines (con $t\in ℝ$) es la recta gris que une los dos puntos: la variedad lineal más pequeña que contiene $A$ y $B$. Fijando puntos auxiliares $P\in 𝔸$ distintos se obtienen las mismas combinaciones afines para todo $t\in ℝ$.

En matemáticas, dado un espacio afín $(𝔸,V,\phi )$ sobre un cuerpo $𝕂$, y un número finito de puntos $p_1,...,p_n\in 𝔸$, una combinación afín de $p_1,...,p_n$ es un punto expresado con una combinación lineal

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot p_i={\alpha }_1{p}_1+{\alpha }_2{p}_2+\cdots +{\alpha }_n{p}_n,$

con ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n\in 𝕂$ tales que

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1.$

En general, las operaciones producto por escalar y suma no están definidas en el conjunto $𝔸$, de forma que, fijado un punto auxiliar $\overline{p}\in 𝔸,$ la expresión anterior se define como

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot p_i=\overline{p}+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{(\overline{p}{p}_i)}\in 𝔸$.

En esta expresión, las operaciones suma y producto por escalar sí que están definidas, pues se aplican a $\overrightarrow{\overline{p}{p}_i}$, elementos de un espacio vectorial $V$.

La expresión anterior está bien definida porque es independiente del punto auxiliar $\overline{p}\in 𝔸$ escogido. Es decir, fijado otro punto auxiliar $p^{\prime }\in 𝔸$ arbitrario, la combinación afín obtenida por la anterior definición es la misma:

El concepto de combinación afín es fundamental en geometría euclidiana y geometría afín, porque el conjunto de todas las combinaciones afines de un conjunto de puntos forman la variedad lineal más pequeña que los contiene. Es decir, si consideramos el conjunto de puntos $S:=\left\{p_1,...,p_m\right\}\subseteq 𝔸$ y denotamos como $⟨S⟩$ al conjunto de combinaciones afines de $S$, entonces

Referencias

• Plantilla:Citation Ver capítulo 2.