Congruencia (teoría de números)

Plantilla:Fusionar en Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a\text{y}b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\ne 0$, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$

que se expresa diciendo que: $a$ es congruente con $b$ módulo $m$. De donde se define que dos números $a\text{y}b$ son congruentes en módulo $m\ne 0$ «» (sí y solo si) :

• $m$ divide exactamente a la diferencia de $a$ y $b$

$m\mid a-b$

o lo que es lo mismo, $a\text{y}b$ dejan el mismo resto en la división por $m$. Además, también se puede afirmar que:

• $a$ se puede escribir como la suma de $b$ y un múltiplo de $m$, pues si: $m\mid a-b$ » (entonces), $mk=a-b$, para algún $k\in \mathbb{Z}(entonces)a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p$ y cada entero $a$ no divisible por $p$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^2-5\equiv 0(\mathrm{mod}11)$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x\equiv 4(\mathrm{mod}11)$ y $x\equiv 7(\mathrm{mod}11)$, es decir $x$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4$ y $11k+7$. Contrariamente la congruencia $x^2-2\equiv 0(\mathrm{mod}11)$, no tiene solución.

La notación y la relación de terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

• La congruencia para un módulo $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ entonces también $b\equiv a(\mathrm{mod}m)$

1. transitividad: si $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ y $b\equiv c(\mathrm{mod}m)$ entonces también $a\equiv c(\mathrm{mod}m)$.

• Si $a$ es coprimo con $m$ y $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$, entonces $b$ también es coprimo con $m$.

• Si $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ y $k$ es un entero entonces también se cumple
  • $a\pm k\equiv b\pm k(\mathrm{mod}m)$
  • $ka\equiv kb(\mathrm{mod}m)$
  • $a^k\equiv b^k(\mathrm{mod}m)k>0$

• Si además $k$ es coprimo con $m$, entonces podemos encontrar un entero $h^{-1}$, tal que

$k{h}^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

$\frac{a}{k}\equiv \frac{b}{k}(\mathrm{mod}m)$

donde por definición ponemos $a/k=a{k}^{-1}$.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ y $c\equiv d(\mathrm{mod}m)$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

$a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}m)$ y $ac\equiv bd(\mathrm{mod}m)$

Véase también

• Aritmética modular

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Congruencias. Lecciones de Álgebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas Plantilla:Wayback
• David M.Burton: "Elementary Number Theory"
• Enrique Arrondo: "Apuntes de Teoría Elemental de Números". En http://www.mat.ucm.es/~arrondo/ten.pdf
• Eduardo Miguel Pérez Almarales: "Congruencia Aritmética para Olimpiada de Matemática". Más sobre él en https://scholar.google.com.cu/citations?user=2U2wbD0AAAAJ&hl=es
• María Luisa Pérez Seguí: "Teoría de Numeros: Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas". En https://www.freelibros.me/matematicas/teoria-de-numeros-maria-luisa-perez-segui