Conjugado armónico

En matemáticas, se dice que una función de variables reales $u(x,y)$ definida en un conjunto abierto conexo $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$ tiene una función conjugada $v(x,y)$ si y sólo si son respectivamente las partes reales e imaginarias de un función holomorfa $f(z)$ de variable compleja$z:=x+iy\in \mathrm{\Omega }.$ Es decir,$v$ es conjugada de $u$ si y solo si $f(z):=u(x,y)+iv(x,y)$ es holomorfa en $\mathrm{\Omega }$. Como primera consecuencia de la definición, ambas funciones son armónicas en $\mathrm{\Omega }$. Además, si existe la conjugada de $u,$ esta es única salvo una constante aditiva.

Descripción

Una definición equivalente es que, $v$ es conjugada de $u$ en $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2,$ si y sólo si satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann en $\mathrm{\Omega }.$ Como consecuencia, si $u$ es cualquier función armónica $\mathrm{\Delta }u=0$ en $\mathrm{\Omega }$ la función $u_y$ es conjugada para $-u_x,$ entonces las ecuaciones de Cauchy–Riemann son justamente la simetría de las segundas derivadas mixtas $u_{xy}=u_{yx}.$, Por tanto, una función armónica $u$ admite una armónica conjugada si y sólo si la función holomorfa $g(z):=u_x(x,y)-i{u}_y(x,y)$ tiene como primitiva a $f(z)$ en cuyo caso una conjugada de $u$ es, naturalmente, $\mathrm{I}\mathrm{m}f(x+iy).$ Así que cualquier función armónica siempre admite un función conjugada siempre que su dominio sea simplemente conexo, y en cualquier caso admite un conjugado localmente en cualquier punto de su dominio.

Al operador que toma una función armónica en una región simplemente conexa y devuelve su armónica conjugadase le conoce como transformada de Hilbert y está relacionado con los operadores integrales singulares. Una generalización son las transformadas de Bäcklund lineales; las cuales son de interés en el estudio de solitones y sistemas integrables.

Geométricamente las armónicas conjugadas tienen trayectorias ortogonales, fuera de los ceros de la función holomorfa subyacente; los contornos en qué u y v son constantes se cruzan en ángulos rectos. A f también se le conoce como potencial complejo, donde u es la función potencial y v es la función de corriente.

Armónico conjugado en geometría

Hay una ocurrencia adicional del término armónico conjugado en matemáticas, específicamente en geometría proyectiva. Dos puntos A y B son armónicos conjugados con respecto a otro par de puntos C y D si la razón armónica es -1, es decir $(A,B;C,D)=\frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}=-1$.

Referencias

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Proporción armónica
• Plantilla:Springer