Constante prima

Plantilla:Distinguir

La constante prima es un número real $ρ$ cuyo $n$ -ésimo dígito binario es 1 si $n$ es un número primo y 0 si $n$ es un número compuesto o 1.

En otras palabras, $ρ$ es el número cuya expansión binaria corresponde a la función indicatriz del conjunto de los números primos. Esto es,

ρ = \sum_{p} \frac{1}{2^{p}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{χ_{ℙ} (n)}{2^{n}}

donde $p$ indica un primo y $χ_{ℙ}$ es la función característica del conjunto $ℙ$ de números primos.

El comienzo de la expansión decimal de ρ es: $ρ = 0.414682509851111660248109622 \dots$ Plantilla:OEIS

El comienzo de la expansión binaria es: $ρ = 0.011010100010100010100010000 \dots_{2}$ Plantilla:OEIS

Irracionalidad de ρ

Se puede demostrar que el número $ρ$ es irracional.^[1] Para ver por qué, supóngase que fuera racional.

Entonces, denótese el dígito $k$ -ésimo de la expansión binaria de $ρ$ como $r_{k}$ . Entonces, dado que se supone que $ρ$ es racional, su expansión binaria finalmente es periódica, por lo que existen $N$ y $k$ números enteros positivos tales que $r_{n} = r_{n + i k}$ para todos los $n > N$ y todo $i \in ℕ$ .

Pero como según el teorema de Euclides hay un infinito número de primos, se puede elegir un primo $p > N$ . Por definición, se sabe que $r_{p} = 1$ . Como se señaló, se tiene que $r_{p} = r_{p + i k}$ para todos los $i \in ℕ$ . Ahora, considérese el caso de que $i = p$ . Entonces, $r_{p + i \cdot k} = r_{p + p \cdot k} = r_{p (k + 1)} = 0$ , ya que $p (k + 1)$ es compuesto porque $k + 1 \geq 2$ . Dado que $r_{p} \neq r_{p (k + 1)}$ , se concluye que $ρ$ es irracional.