Coordenadas cónicas

Superficies de las coordenadas cónicas. Las constantes Plantilla:Math y Plantilla:Math fueron elegidas como 1 y 2, respectivamente. La esfera roja representa Plantilla:Math, el cono elíptico azul alineado con el eje Plantilla:Math vertical representa μ=cosh(1) y el cono elíptico amarillo alineado con el eje Plantilla:Mvar (verde) corresponde a Plantilla:Math. Las tres superficies se cruzan en el punto Plantilla:Math (que se muestra como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (1,26, -0,78, 1,34). Los conos elípticos cruzan la esfera según cónicas esféricas

Las coordenadas cónicas, a veces llamadas coordenadas esferoconales o esferocónicas, son un sistema de coordenadas tridimensional ortogonal que consta de esferas concéntricas (descritas por su radio Plantilla:Mvar) y por dos familias de conos elípticos perpendiculares entre sí, alineados según los ejes Plantilla:Math y Plantilla:Math, respectivamente. Las intersecciones entre cada uno de los conos y la esfera forman dos cónicas esféricas.

Definiciones básicas

Las coordenadas cónicas $(r,\mu ,\nu )$ están definidas por

$x=\frac{r\mu \nu }{bc}$

$y=\frac{r}{b}\sqrt{\frac{({\mu }^2-b^2)({\nu }^2-b^2)}{(b^2-c^2)}}$

$z=\frac{r}{c}\sqrt{\frac{({\mu }^2-c^2)({\nu }^2-c^2)}{(c^2-b^2)}}$

con las siguientes limitaciones en las coordenadas

${\nu }^2<c^2<{\mu }^2<b^2.$

Las superficies de constante Plantilla:Mvar son esferas de ese radio centradas en el origen

$x^2+y^2+z^2=r^2,$

mientras que las superficies de constantes $\mu$ y $\nu$ son conos mutuamente perpendiculares

$\frac{x^2}{{\mu }^2}+\frac{y^2}{{\mu }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\mu }^2-c^2}=0$

y

$\frac{x^2}{{\nu }^2}+\frac{y^2}{{\nu }^2-b^2}+\frac{z^2}{{\nu }^2-c^2}=0.$

En este sistema de coordenadas, tanto la ecuación de Laplace como la ecuación de Helmholtz son separables.

Factores de escala

El factor de escala para el radio Plantilla:Mvar es uno (Plantilla:Math), como en las coordenadas esféricas. Los factores de escala para las dos coordenadas cónicas son

$h_{\mu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\mu }^2)({\mu }^2-c^2)}}$

y

$h_{\nu }=r\sqrt{\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{(b^2-{\nu }^2)(c^2-{\nu }^2)}}.$

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
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• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
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Enlaces externos

• Descripción de MathWorld de coordenadas cónicas