Coordenadas esféricas

Elementos de las coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio $r$, el ángulo polar o colatitud $\theta$ y el azimutal $\phi$.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimutal, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenios utilizados

Convenio internacional

La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben:

• $\phi$, el azimutal  : de 0° a 360°
• $\theta$, la colatitud : de 0° a 180°

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

$0\le r<\mathrm{\infty }0\le \theta \le \pi 0\le \phi <2\pi$

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de $r$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, $r$ vuelve a aumentar, pero $\theta$ pasa a valer π-$\theta$ y $\phi$ aumenta o disminuye en π radianes. TRP

Convenio estadounidense

Actualmente, el convenio usado en los EE. UU. no es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa $\theta$ y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa $\phi$.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

$U=\{(r,\theta ,\phi )|r>0,0<\theta <\pi ,0\le \phi <2\pi \}\text{y}V=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2>0\}$

Existe una correspondencia unívoca $F:V\to U$entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\theta =\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)& z>0\\ \frac{\pi }{2}& z=0\\ \pi +\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)& z<0\end{array}\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\text{ y }y>0\text{ (1° Q)}\\ 2\pi +\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\text{ y }y<0\text{ (4° Q)}\\ \frac{\pi }{2}\text{sgn}(y)& x=0\\ \pi +\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x<0\text{ (2° y 3° Q)}\end{array}$

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje $z$, donde $x^2+y^2=0$, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto $(x,y,z)$ tal que $x=0$.

La función inversa $F^{-1}$ entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

$x=r\mathrm{sen}\theta \cos \phi y=r\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\phi z=r\cos \theta$

Siendo su jacobiano:

$\left|J\right|=r^2\mathrm{sen}\theta$

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

$r=\sqrt{{\rho }^2+z^2}\theta =\arctan \left(\frac{\rho }{z}\right)\phi =\phi$

y sus inversas

$\rho =r\mathrm{sen}\theta \phi =\phi z=r\cos \theta$

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

• Líneas coordenadas $r$: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
• Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies $r$=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
• Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
• Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

$\hat{r}=\mathrm{sen}\theta \cos \phi \hat{x}+\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\phi \hat{y}+\cos \theta \hat{z}$

$\hat{\theta }=\cos \theta \cos \phi \hat{x}+\cos \theta \mathrm{sen}\phi \hat{y}-\mathrm{sen}\theta \hat{z}$

$\hat{\phi }=-\mathrm{sen}\phi \hat{x}+\cos \phi \hat{y}$

e inversamente

$\hat{x}=\mathrm{sen}\theta \cos \phi \hat{r}+\cos \theta \cos \phi \hat{\theta }-\mathrm{sen}\phi \hat{\phi }$

$\hat{y}=\mathrm{sen}\theta \mathrm{sen}\phi \hat{r}+\cos \theta \mathrm{sen}\phi \hat{\theta }+\cos \phi \hat{\phi }$

$\hat{z}=\cos \theta \hat{r}-\mathrm{sen}\theta \hat{\theta }$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

$h_r=1h_{\theta }=r{h}_{\phi }=r\mathrm{sen}\theta$

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

$\overrightarrow{r}=r\hat{r}$

Nótese que no aparecen término en $\hat{\phi }$ o $\hat{\theta }$. La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector $\hat{r}$.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

$d\overrightarrow{l}=h_{r}dr\hat{r}+h_{\theta }d\theta \hat{\theta }+h_{\phi }d\phi \hat{\phi }=dr\hat{r}+rd\theta \hat{\theta }+r\mathrm{sen}\theta d\phi \hat{\phi }$

Diferenciales de área

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, $q_3=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{.}$ el resultado es

$d{\overrightarrow{S}}_{q_3=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=h_1{h}_{2}d{q}_{1}d{q}_2{\hat{q}}_3$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

• $r$=cte: $d{\overrightarrow{S}}_{r=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=r^2\mathrm{sen}\theta d\theta d\phi \hat{r}$
• θ=cte: $d{\overrightarrow{S}}_{\theta =\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=r\mathrm{sen}\theta drd\phi \hat{\theta }$
• φ=cte: $d{\overrightarrow{S}}_{\phi =\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=rdrd\theta \hat{\phi }$

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al determinante del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

$dV=h_1{h}_2{h}_{3}d{q}_{1}d{q}_{2}d{q}_3$

que para coordenadas esféricas en las que el ángulo vertical empieza en el eje z da

$dV=r^2\cos \theta drd\theta d\phi$

y en las que el ángulo vertical empieza en el plano XY da

$dV=r^2\mathrm{sen}\theta drd\theta d\phi$

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

• Gradiente

$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial r}{\hat{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi }{\partial \theta }{\hat{e}}_{\theta }+\frac{1}{r\mathrm{sen}\theta }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi }{\hat{e}}_{\phi }$

• Divergencia

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2{F}_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\mathrm{sen}\theta }\frac{\partial (\mathrm{sen}\theta F_{\theta })}{\partial \theta }+\frac{1}{r\mathrm{sen}\theta }\frac{\partial (F_{\phi })}{\partial \phi }$

• Rotacional

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}=\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\theta }\left|\begin{array}{ccc}\hat{r}& r\hat{\theta }& r\mathrm{sen}\theta \hat{\phi }\\ & & \\ \frac{\partial }{\partial r}& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial \phi }\\ & & \\ F_r& r{F}_{\theta }& r\mathrm{sen}\theta F_{\phi }\end{array}\right|$

• Laplaciano

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \varphi }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\mathrm{sen}\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\mathrm{sen}\theta \frac{\partial \varphi }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\mathrm{sen}}^2\theta }\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial {\phi }^2}$

Véase también

• Sistema de coordenadas
• Coordenadas geográficas
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas cilíndricas
• Factores de escala

Bibliografía

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