Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto $P$ en coordenadas cilíndricas se representa por $(\rho ,\phi ,z)$ donde:

• $\rho$: Coordenada radial, definida como la distancia del punto $P$ al eje $z$, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano $XY$
• $\phi$: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje $X$ la proyección del radiovector sobre el plano $XY$.
• $z$: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano $XY$.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

$0\le \rho <\mathrm{\infty }0\le \phi <2\pi -\mathrm{\infty }<z<\mathrm{\infty }$

La coordenada azimutal $\phi$ se hace variar en ocasiones desde $-\pi$ a $\pi$. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de $\rho$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, $\rho$ vuelve a aumentar, pero $\phi$ aumenta o disminuye en $\pi$ radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo $\phi$, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

$x=\rho \cos \phi ,y=\rho \mathrm{sen}\phi ,z=z$

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas

• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje $Z$.
• Líneas coordenadas $\phi$: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas $z$: Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
• Superficies $\phi$=cte.: Semiplanos verticales.
• Superficies $z$=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

$\hat{\rho }=\cos \phi \hat{x}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\phi \hat{y}$

$\hat{\phi }=-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\phi \hat{x}+\cos \phi \hat{y}$

$\hat{z}=\hat{z}$

e inversamente

$\hat{x}=\cos \phi \hat{\rho }-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\phi \hat{\phi }$

$\hat{y}=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\phi \hat{\rho }+\cos \phi \hat{\phi }$

$\hat{z}=\hat{z}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

$h_{\rho }=1h_{\phi }=\rho h_z=1$

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

$\overrightarrow{r}=\rho \hat{\rho }+z\hat{z}$

Nótese que no aparece un término $\phi \hat{\phi }$. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{r}& =& x\hat{ı}+y\hat{ȷ}+z\hat{k}\\ & =& \rho \cos \phi \hat{ı}+\rho \mathrm{sen}\phi \hat{ȷ}+z\hat{k}\\ & =& \rho (\cos \phi \hat{ı}+\mathrm{sen}\phi \hat{ȷ})+z\hat{k}\\ & =& \rho \hat{\rho }+z\hat{z}\end{array}$

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

$d\overrightarrow{r}=h_{\rho }d\rho \hat{\rho }+h_{\phi }d\phi \hat{\phi }+h_{z}dz\hat{z}=d\rho \hat{\rho }+\rho d\phi \hat{\phi }+dz\hat{z}$

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, $q_3=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{.}$ el resultado es

$d{\overrightarrow{S}}_{q_3=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=h_1{h}_{2}d{q}_{1}d{q}_2{\hat{q}}_3$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

• ρ=cte: $d{\overrightarrow{S}}_{\rho =\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=\rho d\phi dz\hat{\rho }$
• φ=cte: $d{\overrightarrow{S}}_{\phi =\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=d\rho dz\hat{\phi }$
• z=cte: $d{\overrightarrow{S}}_{z=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{e}}=\rho d\rho d\phi \hat{z}$

Diferencial de volumen

$dV=h_1{h}_2{h}_{3}d{q}_{1}d{q}_{2}d{q}_3$

que para coordenadas cilíndricas da

$dV=\rho d\rho d\phi dz$

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

• Gradiente

$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial \rho }\hat{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial \varphi }{\partial \phi }\hat{\phi }+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\hat{z}$

• Divergencia

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\frac{1}{\rho }\frac{\partial (\rho F_{\rho })}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

• Rotacional

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}=\frac{1}{\rho }\left|\begin{array}{ccc}\hat{\rho }& \rho \hat{\phi }& \hat{z}\\ & & \\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \phi }& \frac{\partial }{\partial z}\\ & & \\ F_{\rho }& \rho F_{\phi }& F_z\end{array}\right|=\hat{\rho }(\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_z}{\partial \phi }-\frac{\partial F_{\phi }}{\partial z})+\hat{\phi }(\frac{\partial F_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial \rho })+\hat{z}[\frac{1}{\rho }\frac{\partial (\rho F_{\phi })}{\partial \rho }-\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \phi }]$

• Laplaciano

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial \varphi }{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}$

Véase también

• Coordenadas geográficas
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas esféricas
• Factores de escala