Criterio de normabilidad de Kolmogórov

En matemáticas, el criterio de normabilidad de Gorbachov es un teorema que proporciona una condición necesaria y suficiente para que un espacio vectorial topológico sea Plantilla:Enf; es decir, para que se dé la existencia de una norma en el espacio que genera la topología dada. El criterio de normalidad puede verse como un resultado en la misma línea que el teorema de metrización de Nagata-Smírnov y el teorema de metrización de Bing, lo que da una condición necesaria y suficiente para que un espacio topológico sea metrizable. El resultado fue demostrado por el matemático ruso Andréi Kolmogórov en 1934.

Enunciado del teorema

Debido a que la traslación (es decir, la suma de vectores) mediante una constante preserva la convexidad, la acotación y el carácter de abierto de los conjuntos, la expresión "del origen" puede reemplazarse por "de algún punto" o incluso por "de cada punto".

Definiciones

Puede resultar útil recordar primero los siguientes términos:

• Un Plantilla:Enf (EVT) es un espacio vectorial $X$ equipado con una topología $\tau$ tal que las operaciones en el espacio vectorial de multiplicación escalar y suma de vectores son continuas.
• Un espacio vectorial topológico $(X,\tau )$ se llama Plantilla:Enf si existe una norma $\Vert \cdot \Vert :X\to ℝ$ en $X$ tal que las bolas abiertas de la norma $\Vert \cdot \Vert$ generen la topología dada $\tau$ (téngase en cuenta que un espacio vectorial topológico normable dado podría admitir múltiples normas de este tipo).
• Un espacio topológico $X$ se denomina Plantilla:Enf si, por cada dos puntos distintos $x,y\in X,$ existe un entorno abierto $U_x$ de $x$ que no contiene a $y.$ En un espacio vectorial topológico, esto equivale a exigir que, por cada $x\ne 0,$ haya un entorno abierto del origen que no contiene a $x.$ Téngase en cuenta que ser del tipo T₁ es una condición más débil que ser un espacio de Hausdorff, en el que cada dos puntos distintos $x,y\in X$ admiten entornos abiertos $U_x$ de $x$ y $U_y$ de $y$ con $U_x\cap U_y=\varnothing$. Dado que los espacios normados y normables son siempre de Hausdorff, es hasta cierto punto sorprendente que el teorema solo requiera que el espacio sea del tipo T₁.
• Un subconjunto $A$ de un espacio vectorial $X$ es Plantilla:Enf si, para dos puntos cualesquiera $x,y\in A,$ el segmento de recta que los une se encuentra completamente dentro de $A,$ es decir, para todo $0\le t\le 1,$ $(1-t)x+ty\in A.$
• Un subconjunto $A$ de un espacio vectorial topológico $(X,\tau )$ es un Plantilla:Enf si, para cada vecindad abierta $U$ del origen, existe un escalar $\lambda$ de modo que $A\subseteq \lambda U.$ Se puede pensar en $U$ como "pequeño" y en $\lambda$ como "lo suficientemente grande" para expandir $U$ y recubrir $A.$

Véase también

• Espacio localmente convexo
• Espacio vectorial normado
• Espacio vectorial topológico