Polinomio homogéneo

En matemáticas, un polinomio homogéneo es un polinomio en que cada uno de sus términos (monomios) tienen el mismo grado; o sus elementos son de la misma dimensión. Por ejemplo, $x^5+2x^3{y}^2+9x^1{y}^4$ es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes es siempre 5.

Una forma algebraica, o simplemente forma es otro nombre para un polinomio homogéneo. Un polinomio homogéneo de grado 2 es una forma cuadrática, y puede ser representado como una matriz simétrica. La teoría de las formas algebraicas es muy extensa, y tiene numerosas aplicaciones en todas las otras matemáticas y ciencias teóricas.

Tensores simétricos

Los polinomios homogéneos en un espacio vectorial pueden ser construidos directamente a partir de tensores simétricos, y viceversa. Para espacios vectoriales definidos sobre los cuerpos de números reales o complejos, el sistema de polinomios homogéneos y los tensores simétricos son de hecho isomorfos. Este parentesco es usualmente expresados como sigue.

Siendo X e Y vectores del espacio vectorial, y T el mapa multilineal o tensor simétrico:

$\begin{array}{cccc}T:& \underbrace{X\times X\times \cdots \times X}& \to & Y\\ & n& & \end{array}$

Se define el operador diagonal $\mathrm{\Delta }$ como:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\Delta }:& X& \to & X^n\\ & x& \mapsto & (x,x,\dots ,x)\end{array}$

El polinomio homogéneo $\hat{T}$ de grado n asociado con T es simplemente $\hat{T}=T\circ \mathrm{\Delta }$, de modo que

$\hat{T}(x)=(T\circ \mathrm{\Delta })(x)=T(x,x,\dots ,x)$

Escrito de esta manera, está claro que un polinomio homogéneo es una función homogénea de grado n. Esto, para un escalar a, uno tiene

$\hat{T}(ax)=a^n\hat{T}(x)$

Inversamente, dado un polinomio homogéneo $P$, uno puede construir el tensor simétrico correspondiente $\check{P}$, el cual sigue inmediatamente una multilinearidad del tensor por medio de una fórmula polarizada:

$\check{P}(x_1,x_2,\cdots x_n)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{{\epsilon }_i=\pm 1}{1\le i\le n}}{\epsilon }_1{\epsilon }_2\cdots {\epsilon }_{n}P\left(\sum _{i=1}{\epsilon }_i{x}_i\right)$

$ℒ(X^n,Y)$ denota el espacio de tensores simétricos de rango n, y $𝒫(X,Y)$ denota el espacio de polinomios homogéneos de grado n. Si el vector espacial X e Y están encima de los números reales o complejos (o más generalmente, encima de un cuerpo de característica cero), luego esos dos espacios son isomórficos, con los mapeados dados por sombreros y comprobamos:

$\hat{}:ℒ(X^n,Y)\to 𝒫(X,Y)$

y

$\stackrel{ˇ}{}:𝒫(X,Y)\to ℒ(X^n,Y)$

Forma algebraica

Forma algebraica, o simplemente forma, es otro término para polinomios homogéneos. Estos se utilizan generalmente para formas cuadráticas a de grados 3 y más, y en el pasado también fueron conocidos como cuantos. Al especificar el tipo de forma, uno tiene que dar su grado de una forma, y el número de variables n. Una forma está encima de algún campo K dado, si este va de Kⁿ a K, donde n es el número de variables de la forma.

Una forma encima de algún campo K en n variables representa 0 si en él existe un elemento

(x₁,...,x_n)

en Kⁿ semejante que por lo menos de

x_i (i=1,...,n)

no es igual a cero.

Propiedades básicas

El número de diferentes monomios homogéneos de grado M en N variables es $\frac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

La serie de Taylor de un polinomio homogéneo P ampliado al punto x puede ser escrito como

$\begin{array}{ccc}P(x+y)=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})dlw\check{P}(& \underbrace{x,x,\dots ,x}& \underbrace{y,y,\dots ,y}).\\ & j& n-j\end{array}$

Otra identidad útil es

$\begin{array}{ccc}P(x)-P(y)=\sum _{j=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\check{P}(& \underbrace{y,y,\dots ,y}& \underbrace{(x-y),(x-y),\dots ,(x-y)}).\\ & j& n-j\end{array}$

Historia

Los polinomio homogéneos tuvieron un importante papel en las matemáticas del Plantilla:Siglo.

Las dos evidentes áreas donde se podría aplicar fueron la geometría proyectiva, y la teoría de números (en menor medida). El uso geométrico fue relacionado con teoría invariante.