Desigualdad de Hölder

En análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios L^p.

Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre S, se tiene que

‖ f g ‖_{1} \leq ‖ f ‖_{p} ‖ g ‖_{q} .

Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La desigualdad de Hölder se cumple incluso si Plantilla:Nowrap begin||fg ||₁Plantilla:Nowrap end es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f está en L^p(μ) y g está en L^q(μ), entonces fg está en L¹(μ).

Para 1 < p, q < ∞, f ∈ L^p(μ) y g ∈ L^q(μ), la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f |^p y |g |^q son linealmente dependientes en L¹(μ), lo que significa que existen dos números reales α, β ≥ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que α |f |^p = Plantilla:Nowrap beginβ |g |^qPlantilla:Nowrap end μ-casi en todas partes.

La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de la desigualdad triangular en el espacio L^p(μ), y también para establecer que L^q(μ) es el espacio dual de L^p(μ) para 1 ≤ p < ∞.