Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo.

La desigualdad triangular es un teorema de geometría euclidiana que establece: Plantilla:Teorema Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad: Plantilla:Ecuación donde a, b y c son los lados.

Espacios vectoriales normados

El teorema se pide como axioma para definir los espacios vectoriales normados (espacios vectoriales donde hay una norma $\Vert \cdot \Vert$ definida), resultando en la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En particular, la recta real es un espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma. Entre otras condiciones, se satisface la desigualdad triangular:

cuya demostración es:

Demostración

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

$-|a|\le a\le |a|$

$-|b|\le b\le |b|$

Sumando ambas inecuaciones:

$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $|c|\le d$ si y solo si $-d\le c\le d$ en la línea de arriba queda:

$|a+b|\le |a|+|b|$

Generalización de la desigualdad triangular para cualquier número de sumandos

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos: Plantilla:Ecuación es decir: Plantilla:Ecuación donde n es un número natural, y los $x_i$ son números reales.

Desigualdad de Minkowski

La desigualdad triangular puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc): Plantilla:Ecuación

así como también para espacios L^p. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de L^p(S). Entonces f + g es de L^p(S), y se tiene Plantilla:Ecuación con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Esta desigualdad se llama desigualdad de Minkowski y está demostrada en su propio artículo. Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

para todos los números reales (o complejos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4