Determinante de Hurwitz

En matemáticas, los determinantes de Hurwitz, introducidos por el matemático alemán Adolf Hurwitz en 1895, es una serie de determinantes que son utilizados para dar un criterio a todas las raíces de un polinomio para que tengan una parte real negativa.

Definición

Consideremos un polinomio característico $P$ en la variable $\lambda$ de la manera:

$P(\lambda )=a_0{\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n$

donde$a_i$, $i=0,1,\dots ,n$ son reales.

La matriz de Hurwitz cuadrada asociada a $P$ está dada como:

$H=\left(\begin{array}{ccccccccc}{a}_1& a_3& a_5& \dots & \dots & \dots & 0& 0& 0\\ a_0& a_2& a_4& & & & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& a_1& a_3& & & & ⋮& ⋮& ⋮\\ ⋮& a_0& a_2& \ddots & & & 0& ⋮& ⋮\\ ⋮& 0& a_1& & \ddots & & a_n& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& a_0& & & \ddots & a_{n-1}& 0& ⋮\\ ⋮& ⋮& 0& & & & a_{n-2}& a_n& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& & & & a_{n-3}& a_{n-1}& 0\\ 0& 0& 0& \dots & \dots & \dots & a_{n-4}& a_{n-2}& a_n\end{array}\right).$

El determinante de Hurwitz número $i$ es el determinante del primer menor número $i$ de la matriz de Hurwitz $H$. Existen $n$ determinantes de Hurwitz para un polinomio característico de grado $n$.

Referencias

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